Mikroökonomik Kurseinheit 2

Mikroökonomik KE 2

Wer kann mir bei dieser Aufgabe aus der Einsendearbeit KE 2 helfen?

Gegeben sei die Nutzenfunktion U = 3 ln x1 + 4 ln x2.
Welcher Wert kommt der Grenzrate der Substitution GRS (x2,x1) von x2 durch x1 an der Stelle x1 = 3 , x2 = 4 dem Betrage nach am nächsten?

a) ¾
b) 4/3
c) 16/9
d) 1/3
e) 9/16

Ich komme damit nicht zurecht.

Jana

U = 3 * ln x1 + 4 * ln x2

Berechnung der Grenzrate der Substitution GRS(x2, x1) von x2 durch x1 ...

Entweder über das totale Differential ...

GRS(x2, x1)
= dx2/dx1
= -1 * (dU/dx1) / (dU/dx2) ... // Totales Differential = 0 auf der Isoquante
= -1 * (3 * x1^-1) / (4 * x2^-1) ... // (ln x)' = 1/x
= -3/4 * x2/x1

Oder mit etwas Akrobatik über die Isoquantendefinition ...

U = 3 * ln x1 + 4 * ln x2

4 * ln x2 = U - 3 * ln x1

ln x2 = 1/4 * U - 3/4 * ln x1

Isoquante: x2 = e^(1/4 * U - 3/4 * ln x1)

GRS(x2, x1)
= dx2/dx1
= e^(1/4 * U - 3/4 * ln x1) * -3/4 * x1^-1 ........ // Kettenregel
= -3/4 * e^(1/4 * U) * e^(-3/4 * ln x1) * x1^-1 // e^(a+b) = e^a * e^b
= -3/4 * e^(1/4 * U) * x1^(-3/4) * x1^-1 ........ // e^(a*ln x) = x^a
= -3/4 * e^(1/4 * U[/COLOR]) * x1^-7/4
= -3/4 * e^(1/4 * (3 * ln x1 + 4 * ln x2[/COLOR])) * x1^-7/4 ...// U einsetzen[/COLOR]
= -3/4 * e^(3/4 * ln x1) * e^(4/4 * ln x2) * x1^-7/4 ..// e^(a+b) = e^a * e^b
= -3/4 * x1^3/4 * x2 * x1^-7/4 ....... // e^(a*ln x) = x^a
= -3/4 * x1^-1 * x2
= -3/4 * x2/x1

Jetzt mit GRS(x2, x1) = -3/4 * x2/x1:

GRS(x2, x1) für x1=3, x2=4
= -3/4 * 4/3
= -1

Also: Die richtige Antwort ist a) : 3/4 liegt am nächsten an 1 (= Betrag von -1)

Liebe Grüße