Aufgabe 48 Kurseinheit 2

Aufgabe 48, KE 2

Soo, der nächste Stolperstein ist da:

KE 2, Aufgabe 48.

Lagrange schön und gut, die Bedingungen erster Ordnung sind auch klar, aber ich verstehe nicht, wie aus den Gleichungen (1) und (2) folgen kann, dass X2 / X1 = P1 / P2.

Dass sich lambda rausrechnet, kann ich ja noch nachvollziehen, aber wie kommt P2 in den Nenner?

Das wäre doch ne Substraktion, oder habe ich da mal wieder in der Grundschule gepennt😎?

Kerstin, kannst Du die Aufgabe dazu schreiben? Viele von uns haben das neue Mikroskript nicht.

Aufgabe:

Gegeben sei die Nutzenfunktion U=X1X2 und die Budgetrestriktion B=P1X1 + P2X2


Bestimmen Sie das optimale Güterbündel als Funktion der Budgetsumme und der Güterpreise.


Lösungsansatz aus der KE:


Die Lagrangefunktion lautet Λ= X1X2 + λ (B - P1X1 + P2X2 )

Daraus ergeben sich die Bedingungen erster Ordnung:

(1) δΛ / δX1 = X1 - λ P1 = 0

(2) δΛ / δX2 = X2 - λ P2 = 0

(3) δΛ / δ λ = B - P1X1 – P2X2

Aus (1) und (2) folgt: X2 / X1 = P1 / P2

(...)

Diesen letzten Schritt kann ich mathematisch nicht nachvollziehen ...

BlackDove77 schrieb:

Diesen letzten Schritt kann ich mathematisch nicht nachvollziehen

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Am schnellsten geht's, wenn Du die Gleichungen (1) und (2) jeweils nach λ auflöst. Dann steht da:

[tex]
\lambda = \frac{X_1}{P_1} = \frac{X_2}{P_2}
[/tex]

Der erste Bruch kommt aus Gleichung (1); der zweite aus Gleichung (2).

Nun noch das λ weggelassen und alles eben in die Form gebracht, die Du suchst:

[tex]
\frac{X_2}{X_1} = \frac{P_1}{P_2}
[/tex]

AHHHHHH .... und ich hab's die ganz Zeit mit gleichsetzen versucht ... Mensch, tausend Dank NBI, es fällt mir wie Schuppen von den Haaren

Naja, die Gleichungen (1) und (2) sind die jeweiligen Ableitungen der Lagrangefunktion. Und diese sollen dann im weiteren "zufällig" gleich null sein.

Damit mir dieser Fehler nicht passiert, mache ich handschriftlich auf dem zweiten Gleichheitszeichen ein kleines Ausrufezeichen. Dann weiß ich, daß das Gleichungssystem eigentlich

X1 - λ P1 = 0
X2 - λ P2 = 0

lautet.