Nutzenfunktion/Grenzrate der Substitution

rhinos · 22 März 2007

Aufgabe aus dem vwl trainer

gegeben sei folgende nutzenfunktion U=(x1 - 5) (x2 - 6)
x1 > 5; x2 > 6

Konsument Oskar besitzt 10 kg brot (x1) und 10 kg fleisch (x2)

Wieviel fleisch ist oskar bereit einzutauschen für 2 kg brot, wenn sein nutzen insgesamt unverändert bleiben soll?
wert bitte als dezimal mit einer kommastelle eingeben

das resultat ist 1

ich habe folgenden lösungsweg:
U1 = 20 also (10-5) (10-6) = 20
U1 = U2 also 20 = (12-5)(x2-6)
20 = 7x2 - 42
62 = 7x2
x2 = 8,857142857
füge ich in u2 ein 20 = (12-5) (8.857142857-6) stimmt
also wäre ja für 2 kg brot tauscht oskar 1.1kg fleisch
da müsste das resultat doch 1.1 sein, schliessliche wollen die ja eine
kommastelle sehen.

oder habe ich da einen völlig falschen lösungsweg?

JayFox · 22 März 2007

Hm,

also ich habs wie folgt gerechnet.

U = (x1-5)*(x2-6)
U = (10-5)*(12-6) = 20

20 = (12-5)*(x2-6)
20 = 7x2*-42
22 = 7x2

x2 = 3,2 (gerundet)

sollte doch richtig sein oder?

Meccs · 22 März 2007

1,1 kg hätte ich auch.

JayFox schrieb:
U = (10-5)*(12-6) = 20 😱

😉

BTW: Wieso gibts den VWL Trainer nicht auch als Download? Kann den mir nicht mal jemand schicken? Im DSL Zeitalter sollte das doch kein Problem sein!

fletch · 22 März 2007

Hab' den gleichen Lösungsansatz - entspricht auch dem Skript.

Gehen wir einfach mal davon aus, dass hier ein Fehler im Trainer vorliegt (wäre ja nicht der erste in VWL 🙄 ).

Diesen Aufgabentrainer hätte ich auch gerne. Wie viele Aufgaben beinhaltet der denn? Für eine "kleine" mail mit dem Trainer wäre ich auch sehr dankbar.

rhinos · 22 März 2007

Noch eine andere aufgabe:

wie lautet die grenzrate der gütersubstitution für folgende nutzenfunktion
U = 3*x1^1/3*x2^2/3

das resultat ist:
x2
----
2*x1

wie komme ich auf dieses resultat?

Anke68 · 23 März 2007

GRS

Hallo
hier mein Versuch:

kommt darauf an ob nach GRS 21 oder GRS 12 gefragt ist.

Also oben nach x2 ableiten und unten ´nach X1 ableiten, das wäre DX1/DX2

3*2/3 x1^1/3 *x2^-1/3 das wäre der Zähler

3*1/3 x1^-2/3 *x2^2/3 das wäre der Nenner

nach imformen kommt man dan auf 2x1/x2das wäre der Kehrwert deiner Lösung. Vielleicht steht bei der Aufgabe ja noch was dabei, was drechnet werden soll

Viele Grüsse Anke

rhinos · 23 März 2007

Ja danke so passt es.

Klotzi · 23 März 2007

Es wäre echt Klasse, wenn jemand den VWL Trainer verschicken könnte oder auf deinem Server bereitstellen könnte. Meine Bestellung ist leider nciht mehr rechtzeitig gekommen

Tati23 · 23 März 2007

also ich komme auf das Ergebnis x2/2x1
Unzwar habe ich die Nutzenfunktion einmal nach x1 und einmal nach x2 abgeleitet.
Nach U´(x1)= x1^-2/3*x2^2/3
Nach U´(x2)=2x1^1/3*x2^-1/3
Die GRS setzt sich zusammen indem man die Grenzproduktivitäten der beiden Faktoren ins Verhältnis setzt.
Oben steht die Grenzproduktivität von x1 und im Nenner steht die Grenzproduktivität von x2. Steht auch so im Skript. Seite 33
Liebe Grüße

LBomsdorf · 24 März 2007

Naja welcher Faktor Nenner bzw. Zähler wird, hängt ja wohl eher davon ab, ob man die GRS 12 oder die GRS 21 berechnen soll...

s. https://www.studienservice.de/showpost.php?p=337404&postcount=6

Meccs · 24 März 2007

Tati23 schrieb:
Hallo zusammen,
Oben steht die Grenzproduktivität von x1 und im Nenner steht die Grenzproduktivität von x2. Steht auch so im Skript. Seite 33
Liebe Grüße

Aber ich glaube in der Aufgabe war das anders abgedruckt, da waren Zähler und Nenner vertauscht oder?
Wenn ich mich recht erinnere stand da dx2/dx1 als richtige Lösung war aber dx1/dx2 angegeben!?! :hmmm:

EDIT: Hab nochmal nachgeschaut. Muss wohl Fehler im Trainer sein. Da stand wirklich "Berechnen Sie die GRS dx2/dx1". Als Lösung war aber dx1/dx2 ...
Ich hab jetzt 30 Minuten deswegen verschwendet, da ich dachte ich hab was falsch gemacht.

Meccs · 25 März 2007

Kann noch mal bitte jemand was dazu sagen? Warum steht da dx2/dx1 wenn als Lösung dx1/dx2 gegeben ist? Denkfehler?

gintare · 25 März 2007

Schau mal. Es ist richtig, weil dU/dx1:dU/dx2 = dx2/dx1
dU/dx1=x1^(-2/3)*x2^(1/3)
dU/dx2=2*x1^(1/3)*x2^(-1/3)
nach dem einsetzen beider kommst du auf dx2/dx1=x2/(2*x1)

Meccs · 26 März 2007

Ah! Stimmt, x2 wird DURCH x1 ersetzt.

TOBIAS2 · 17 März 2009

Grenzrate der Substitution aus Nutzenfunktion

Hi,

ich habe folgende Frage, die ich mir auch durch den ähnlichen Thread auf #?t=22043 nicht beantworten konnte:

Zum Kurs Einführung in die Volkswirtschaftslehre, Seite 101:
Welcher mathematische Rechenweg führt von U(X1,X2)=(x1-10)(x2-5) zu -dx2/dx1=(x2-5)/(x1-10)?

Grüße Tobias

krid · 17 März 2009

Tobias,

erstmal willkommen im Studienservice

Ich glaube, Deine Gleichung stimmt nicht. Aber der Reihe nach.

Um zur Grenzrate der Substitution zu kommen, musst Du das totale Differential der Nutzenfunktion bilden. Du musst also nach jeder Variable partiell ableiten (das ist ja die Veränderung des Funktionswertes, wenn man die Variable nur infinitesimal ändert) und außerdem angeben, wie groß die Änderung sein soll. Letzteres wird z.B. durch das dx1 ausgedrückt. Also hier:

[tex]dU=\frac{\partial U}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial U}{\partial x_2}dx_2[/tex].

So, nun soll diese Änderung insgesamt Null sein. Du willst ja am Ende wissen: wenn ich x1 um eine kleine Menge weniger konsumiere, wieviel x2 muss ich dann mehr haben, um wieder auf denselben Nutzen zu kommen?

Also:

[tex]dU=\frac{\partial U}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial U}{\partial x_2}dx_2=0[/tex].

Jetzt bringst Du den 2. Summanden in der Mitte auf die andere Seite:

[tex]\frac{\partial U}{\partial x_1}dx_1=-\frac{\partial U}{\partial x_2}dx_2[/tex].

Dann einmal durch dx1 dividieren und einmal durch die partiele Ableitung rechts:

[tex]\frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}}=-\frac{dx_2}{dx_1}[/tex].

Soweit zur Theorie. Nun zur Praxis... 😉

Du hast:

[tex](x_1-10)(x_2-5)=x_1x_2-5x_1-10x_2+50[/tex]

Nach x1 abgelitten ist das (x2–5) und nach x2 hast Du (x1–10). Das sind die partiellen Ableitungen. Also ist die GRS (wenn ich mich nicht irgendwo verta hab):

[tex]-\frac{dx_2}{dx_1}=\frac{x_2-5}{x_1-10}[/tex].

derne · 17 März 2009

Das klingt logisch ! Aber ich habe jetzt auch mal im Skript nachgeschaut da steht wirklich:

-dx2/dx1= x2-5/x1-10

EVWL-Skript 01 Seite: 101

cordon · 17 März 2009

Der trainer beinhaltet 60 fragen. meiner meinung nach sind die teils schwerer als das was man aus alten klausuren kennt. dumm ist auch das die richtigen lösungen komplett ohne lösungswege angegeben werden.
denke den kram zu verschicken dürfte auf widerspruch stoßen. aber die schwierigeren aufgaben könnten wir doch posten.
hiermit komme ich nicht klar:

Berechnen sie die Grenzproduktivität des Faktors Kapital für Y=(N*K)^1/3*K^2/3 für einen konstanten Arbeitseinsatz in Höhe von N=125

TOBIAS2 · 17 März 2009

kridbonn,

vielen Dank für deine schnelle Hilfe, jetzt ist mir der Lösungsweg klar!

Im letzten Schritt hast du allerdings tatsächlich einen Fehler gemacht und nicht das Skrypt:
Bei der partiellen Ableitung nach x1 fällt x1 gerade weg (x1^(1-1)=x1^0=1), so dass x2-5 stehen bleibt, ebenso x2 bei der partiellen Ableitung nach x2, die x1+10 ergibt.

krid · 17 März 2009

Ja, das stimmt. Ich bin mit den Indizes durcheinander gekommen, als ich es von meiner Papier-Kritzelei ins TeX übertragen hab. 😱 Ich hab's im Beitrag oben korrigiert.

Trotzdem war die Formel oben nicht ganz richtig – da ist links ein Minuszeichen zuviel. 😉😛

cordon · 18 März 2009

Auf dem Weg hab ich jetzt endlich mal zumindest einen Teil der Aufgaben lösen können. 3 Fragen bleiben mir aber noch:

1.Bei Aufgabe 5 in EBWL1 wird aber ein anderer Weg beschrieben. Hier wird aus der Produktionsfunktion die Isoquantengleichung aufgestellt und dann die erste Ableitung nach r1 gebildet. Das soll dann auch der GRS2,1 entsprechen?

2.Wo kommt jetzt das Minus tatsächlich hin? Vor dem Bruch mit den partielen Ableitungen oder vor dx2/dx1?

3. Kann evtl. jemand für Dumme die Vorgehensweise die zum Expansionspfad führt erklären?

bydgo · 18 März 2009

Berechnen sie die Grenzproduktivität des Faktors Kapital für Y=(N*K)^1/3*K^2/3 für einen konstanten Arbeitseinsatz in Höhe von N=125

Die Funktion kann folgendermaßen umgeschrieben werden:

Y = N^1/3*K

Grenzproduktivität des Faktors Kapital = 1. Ableitung der Funktion nach K:

dY/dK = N^1/3 = 125^1/3 = 5

Gruß

deinSchatten · 18 März 2009

Zur ersten Aufgaben:aufgabe aus dem vwl trainergegeben sei folgende nutzenfunktion U=(x1 - 5) (x2 - 6)x1 > 5; x2 > 6Konsument Oskar besitzt 10 kg brot (x1) und 10 kg fleisch (x2)Wieviel fleisch ist oskar bereit einzutauschen für 2 kg brot, wenn sein nutzen insgesamt unverändert bleiben soll?wert bitte als dezimal mit einer kommastelle eingebendas resultat ist 1...
Also meiner Meinung nach müsste die Antwort 1,0 richtig sein.Ich habe zwar zuvor von Grenzwert noch nie gehört (fang ja erst im April an), aber wenn man - wie in der Aufgabenstellung gefordert - mit nur einer Nachkommastelle immer rechnet, dann erhält man nachher 1,0.u1 = (10-5) (10-6) = 20
20=(12-5) (x2-6)=7x2-42
62=7x2x2=8,8
20=(12-5)(8,8-6)=7*2,8=19,6
20/19,6=1,0

krid · 18 März 2009

cordon schrieb:
2.Wo kommt jetzt das Minus tatsächlich hin? Vor dem Bruch mit den partielen Ableitungen oder vor dx2/dx1?

Das ist eigentlich wurscht - Hauptsache der Bruch ist negativ. Das erreichtst Du durch ein Minus vor dem Bruch oder im Zähler oder im Nenner. Wenn Du aber im Zähler und im Nenner ein Minus hast, ist der Bruch positiv.

Um die Verwirrung komplett zu machen, wird die GRS oft als Betrag angegeben.

Teufael · 18 März 2009

deinSchatten schrieb:
zur ersten Aufgaben:aufgabe aus dem vwl trainergegeben sei folgende nutzenfunktion U=(x1 - 5) (x2 - 6)x1 > 5; x2 > 6Konsument Oskar besitzt 10 kg brot (x1) und 10 kg fleisch (x2)Wieviel fleisch ist oskar bereit einzutauschen für 2 kg brot, wenn sein nutzen insgesamt unverändert bleiben soll?wert bitte als dezimal mit einer kommastelle eingebendas resultat ist 1...
Also meiner Meinung nach müsste die Antwort 1,0 richtig sein.Ich habe zwar zuvor von Grenzwert noch nie gehört (fang ja erst im April an), aber wenn man - wie in der Aufgabenstellung gefordert - mit nur einer Nachkommastelle immer rechnet, dann erhält man nachher 1,0.u1 = (10-5) (10-6) = 20
20=(12-5) (x2-6)=7x2-42
62=7x2x2=8,8
20=(12-5)(8,8-6)=7*2,8=19,6
20/19,6=1,0

naja hab 1.1(4) raus... weil [tex]x_2=\frac{U}{x_1-5}+6=\frac{20}{12-5}+6=8.86[/tex]
und 140 Gramm mehr oder weniger macht bei nem Essen schon viel aus

cordon · 18 März 2009

kridbonn schrieb:
Das ist eigentlich wurscht - Hauptsache der Bruch ist negativ. Das erreichtst Du durch ein Minus vor dem Bruch oder im Zähler oder im Nenner. Wenn Du aber im Zähler und im Nenner ein Minus hast, ist der Bruch positiv.

Um die Verwirrung komplett zu machen, wird die GRS oft als Betrag angegeben.

Soweit natürlich klar! Ich meinte obe es rechts oder links vom Gleichheitszeichen hin muss.

Teufael · 18 März 2009

Rechts... dh bei [tex]\frac{dx2}{dx1}[/tex]

weil du leitest die Funktion (d)x2 nach (d)x1 ab.. und dank Quotientenregel und co ist die Ableitung negativ.. und um das wieder richtigzustellen kommt halt das "-" davor.

dh..

Beispiel..

[tex]U=(x1 - 5)\cdot(x2 - 6)[/tex]
[tex]x2=\frac{U}{x1 -5}+6[/tex]
[tex]x2'=-\frac{U}{(x1 - 5)^2}[/tex]

für U dann (x1 - 5) (x2 - 6) einsetzen und 1 mal x1-5 rauskürzen 😉..

ist doch ganz einfach *würg*G*

Nutzenfunktion/Grenzrate der Substitution

Klotzi

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