Hessesche Normalform anders als im skript aber passend

Hessesche Normalform, anders als im skript, aber passend

Halli hallo,
habe heute in Kurs 00053 Seite 25ff. Versuch den Themenkomplex rund um die Hessesche Normalform zu verstehen, nach vielen Stunden ohne Erfolg.
Die gut 25 Seiten vorher sind mir klar und verständlich.
Meine Frage: Gibt es Literatur in der ich die Hessesche Normalform nachlesen bzw ihre Herleitung verstehen kann, abgesehen vom Skript. Scheinbar gab es schon andere Threads diesbezüglich, weitergeholfen haben sie mir nicht.
Meine genauen Probleme mit dem Verständnis zu artikulieren fäkllt mir schwer, dieser Themenkomplex ggf. auch nicht besonders verständlich formuliert. In anderen Büchern der Mathematik für WiWi´s wird in der Regel auf diese Formel nicht eingegangen (zumindest die Bücher die ich durchforstete)
Viele Grüße Maximilian

schau dir doch mal die Formelsammlung an, die hier hochgeladen wurde. Da wird die Hessische Normalform erkärlt. Im Prinzip ist das nur eine gesammelte Schreibweise für 2. Ableitungen, also nach xx, xy, yy, yx.
In der Formelsammlung ist auch erklärt, was und wie man daraus verschiedene Sachen ablesen kann.
Gruß
C.

Meinst du nicht die Hesse-Matrix, Paula?

Die Hessesche Normalform benötigst du während der Klausur NUR, wenn im zweidimensionalen Raum nach dem Abstand eines Punktes von einer Gerade bzw. im dreidimensionalem Raum nach dem Abstand eines Punktes von einer Ebene gefragt ist!

[tex]HNF = \frac{a_1}{|a|} \cdot x_1 + \frac{a_2}{|a|} \cdot x_2 - \frac{b}{|a|} = 0
[/tex]

Einfach den Vektor [tex]= {a_1 \choose a_2}[/tex] und die Koordinaten des Punktes [tex]=x_1 und x_2[/tex] in die HNF einsetzen, den Betrag des Vektors [tex]=|a|[/tex] ausrechnen und einsetzen und den Abstand ausrechnen...

Danke schonmal, wahrscheinlich das beste, das ganze einfach so auswendig zu lernen. wusste überhaupt nicht die wichtigkeit einzuschätzen
merci

Hmm hab mir das ganze nochmal angeschaut auch die gleichung von dir terrorprincess, mit der im Skript verglichen.

im Skript habe ich statt


a * x a * s
----- - ------- = 0 = HNF
||a|| ||a||


Habe also, soweit ich das überblicke, einen Vektor in der Berechnung mehr, nämlich den Vektor Seite
wie kommt das?

viele grüße maximilian

Die Formel ist die gleiche 🙂

Ich habe die Koordinate des Punktes x neben den Bruch geschrieben - bei dir steht sie im Bruch - ist ja das Gleiche bei der Multiplikation!

Und was bei mir b ist ist bei dir wohl s...

die Gleichung wird meist in der Form [tex] a x_1 + a x_2 = b [/tex] angeben, daher resultiert auch mein b in der HNF...

Achso - die Formel, wie ich sie zuerst aufgeschrieben habe entstammt nicht meiner Phantasie, sondern der Mentorenveranstaltung Hamburg 🙂
so hat man uns dies erklärt und ich finde sie einfacher zu verstehen, als der Formel aus dem Skript...

zumindest komme ich immer auf das richtige Ergebnis

Ich hab mich jetzt nochmal eingelesen und bin glücklicherweise in der lage von beliebigen geraden die hessesche normal form zuerstellen und abstände zu berechnen, ich Frage mich nur (rein aus interesse) warum meine formel anders ist als die im Skript (vielleicht erkennt das einer, ich leider ncht)

angenommen es sie die gerade y = 3x +6

um zu hesseschen NF zu kommen stell ich die gleichung um --> 3x-y +6=0

ich nehme nun die parameter der variablen x und y und schreibe sie als zeilenvektor (3, -1) von diesem Vektor errechne ich die Länge Wurzel aus 3² + -1² = W(urzel aus) 10

dann erstell ich die HNF:

3x...... 1y.... 6
----- - ---- + --- = 0
w10 w10 w10

setze ich einen Punkt der Gerade ein, zb (1,9)

so erhalte ich

3*1.... 1*9..... 6
---- - ---- + ------- = 0 , das ergebnis ist auch 0, wie gewünscht denn
w10... w10 ....w10

das ergebnis ist auch 0, wie gewünscht denn ein punkt der geraden hat natürlich auch den abstand 0, ABER warum hab ich anders als im Skript keine formel in der ich den "paramter"-vektor (1,9) mal s rechne. wo soll ich diesen vektor s herkriegen? ich hab den ja gar nich bei mir :/ was unterschiedet meine formel noch von der im skript? mag für die klausurlösung egal sein, aber das interessiert mich gerade 🙂

liebe grüße

ps: diese .... in der Lösung dienen dazu den Abstand richtig hinzukriegen, krieg das machen von gleichungen noch nich so hin

@Mathew

Mathe I, KE 1, Seite 28 unten, etwas versteckt:

Man erhält die Hessesche Normalform von ax-b=0 indem man a und b mit a normiert, also durch die Länge ||a|| teilt.

Genau das hast Du oben gemacht