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Flächenberechnung

Dr Franke Ghostwriter
bezüglich der Flächenberechnung. In der Einsendearbeit von Kurs 00054 z. B. ist die Lösung von Aufgabe 10 B, D und F. Meine Frage ist, was ist der Unterschied zwischen B, richtige Lösung, und C, falsche Lösung? Wieso ist C falsch?

Worin besteht der Unterschied, ob ich die Betragsstriche nur um die Funktion mache oder um das Integral?
 
da ich die aktuellen EAs nicht voliegen habe, kann ich Dir auf Deine erste Frage nicht antworten.

Worin besteht der Unterschied, ob ich die Betragsstriche nur um die Funktion mache oder um das Integral?

Das macht einen großen Unterschied. Betrachte beispielsweise die Integrale

[tex]
\int_0^{2\pi} \left| \sin x \right| ~ d x \qquad \mbox{und} \qquad \left| \int_0^{2\pi} \sin x ~ d x \right|
[/tex]

Im ersten Fall erhälst Du die Fläche unter der Kurve Anhang1.pdf und im zweiten unter der Kurve Anhang2.pdf

Also ist
[tex]
\int_0^{2\pi} \left| \sin x \right| ~ d x = 4
[/tex]

und, da sich die Einzelflächen wegheben,
[tex]
\left| \int_0^{2\pi} \sin x ~ d x \right| = \left| 0 \right| = 0
[/tex]


Bitte!
 

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Erstmal danke für die Antwort. Dein Beispiel habe ich verstanden. Muss mir das nochmal genauer anhand der EA anschauen. Hatte noch keine Zeit dazu.
 
Schaut es euch genau an, ich bin mir sicher, dass es dran kommen wird, da es in den letzten jahren in fast jeder Klausur dran war und scheinbar nach wie vor die meisten schwierigkeiten bereitet aber wenn man es einmal verstanden hat, geht es, das soll aber kein gerücht sein, ist nur mein empfinden beim durchrechnen der klausuren
 
Habe mir die EA jetzt nochmal angeschaut und verstehe das irgendwie nicht.
Ich schreibe hier mal die Beispiele aus der EA mit Betragsstrichen rein:

Richtige Lösungen:

B) Integral von a bis 0 über Betrag von f(x) - Integral von b bis 0 über Betrag von f(x)
D) Betrag Integral von a bis b über f(x)

Falsche Lösung:

C) Betrag Integral von a bis 0 über f(x) - Betrag Integral von b bis 0 über f(x)

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus!
Viele Grüße
Heath
 
Moin!

Bei C ziehst Du von der Fläche a bis 0 die Fläche b bis 0 ab, erhälst also den negativen Flächeninhalt.
Bei B komme ich dann auf

-a - (-b) = -a + b --> ergo positives Ergebnis, da b > a

und bei C auf

|-a| - |-b| = a - b --> ergo negatives Ergebnis, da b > a?

Falls das richtig sein sollte, glaube ich, habe ich es verstanden. :rolleyes
 
Vielleicht wird das ganze noch ein wenig einsichtiger, wenn man folgende Beispiele betrachtet:

[tex] \int_{\frac \pi 2}^{2\pi} \sin x dx [/tex]

[tex] \left| \int_{\frac \pi 2}^{2\pi} \sin x dx \right| [/tex]

[tex] \int_{\frac \pi 2}^{2\pi} | \sin x | dx [/tex]

Im ersten Fall wird die Fläche unter dem Sinus bestimmt - dabei ist zu beachten, dass der größere Teil unter der Abszisse liegt und deshalb negativ ist. Folglich ist das Integral

[tex] \int_{\frac \pi 2}^{2\pi} \sin x dx = \int_{\frac \pi 2}^{\pi} \sin x dx +\int_{\pi }^{2\pi} \sin x dx = 1 + (-2) = -1 [/tex] -- Siehe Beispiel 1.pdf

Im zweiten Fall wird genau das gleiche berechnet - nur das Endergebnis wird zum Betrag genommen, also

[tex] \left| \int_{\frac \pi 2}^{2\pi} \sin x dx \right| =\left| \int_{\frac \pi 2}^{\pi} \sin x dx +\int_{\pi }^{2\pi} \sin x dx \right| =| 1 + (-2) |= |(-1)| = +1[/tex] (Die Abbildung sieht also genauso aus, wie die von Beispiel1)

Im dritte Fall schließlich wird zuerst die Funktion "nach oben geklappt" und anschließend das Integral ausgewertet:

[tex] \int_{\frac \pi 2}^{2\pi} |\sin x| dx = \int_{\frac \pi 2}^{\pi} |\sin x| dx +\int_{\pi }^{2\pi} |\sin x| dx =|1 |+|(-2) |= 3 [/tex] -- Siehe Beispiel 3.pdf
 

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