Grenzrate der Substitution

sunnyw86 · 17 Februar 2010

hoffe ihr könnt mir helfen. Gesucht ist die Grenzrate der Substitution von Gut 1 durch Gut 2. Folgende Nutzfunktion ist gegeben: U = x1 hoch 0,5 * x2 hoch 0,5. Ergebnis lautet: -(x1/x2). Wie komme ich aber darauf. Weiß zwar das man dies mit der Produktregel ableiten muss, komme jedoch trotzdem nicht aufs Ergebnis.
Vielen Dank.

ChrissiLLB · 17 Februar 2010

U = x1^1/2 * x2^1/2

Gesucht: GRS(x1, x2), d.h. dx1/dx2

1. Möglichkeit: Isoquante x1 = I(x2) ermitteln und nach x2 ableiten

U * x2^-1/2 = x^1/2

Isoquante: x1 = U^2 * x2^-1

GRS(x1, x2)[/COLOR]
= dx1/dx2 [/COLOR]
= -1 * U^2 * x2^-2
= - (x1^1/2 * x2^1/2)^2 * x2^-2 ...// U einsetzen
= - x1 * x2 * x2^-2
= - x1 * x2^-1
= - x1/x2[/COLOR]

2. Möglichkeit: GRS = ngatives umgekehrtes Grenznutzenverhältnis

dx1/dx2[/COLOR]
= - (dU/dx2) / (dU/dx1)[/COLOR]
= - (1/2 * x1^1/2 * x2^-1/2) / (1/2 * x1^-1/2 * x2^1/2)
= - x1^(1/2+1/2) * x2^(-1/2-1/2)
= - x1^1 * x2^-1
= - x1/x2[/COLOR]

Liebe Grüße

starbuck · 22 Februar 2010

Empfiehlt es sich hier, beide Varianten auf dem Kasten zu haben, bzw. wo liegen die Vor- und/oder Nachteile der beiden Methoden?

ChrissiLLB · 22 Februar 2010

starbuck schrieb:
Empfiehlt es sich hier, beide Varianten auf dem Kasten zu haben, bzw. wo liegen die Vor- und/oder Nachteile der beiden Methoden?

Naja, als WiWi sollte man beides kennen, oder? Wenn Du mal ein paar GRS berechnet hast, wirst Du feststellen, dass die Methode über das Grenznutzenverhältnis (oben die 2. Möglichkeit) einfacher zu rechnen ist, weil bei dem Weg über die Isoquante (oben die 1. Möglichkeit) das U durch Einsetzen des Definitionsterms eliminiert werden muss und das mehr Umformungen nach sich zieht.

Liebe Grüße

musicbibi · 22 Februar 2010

wegen der 2.Möglichkeit!

Hallo,

habe das mit der Grenzrate auch wiederholt und bin zufällig hier auf diesen Beitrag gestoßen:

@ChrissuLLB: kann es sein, dass du dich vertan hast? oder ansonsten bin ich jetzt sehr verwirrt, müsste es nicht so heißen
-> (x1^0,5 * 0,5x2^-0,5)/(0,5x1^-0,5*x2^0,5)...??
usw??

ChrissiLLB · 22 Februar 2010

musicbibi schrieb:
@ChrissuLLB: kann es sein, dass du dich vertan hast? oder ansonsten bin ich jetzt sehr verwirrt, müsste es nicht so heißen
-> (x1^0,5 * 0,5x2^-0,5)/(0,5x1^-0,5*x2^0,5)...??
usw??

Nein, ich habe mich nicht vertan, bei Dir fehlt das negative Vorzeichen,

die GRS(x1, x2) ist -x1/x2 (mein Ergebnis) und nicht +x1/x2 (Dein Ergebnis).

Liebe Grüße

Snoopy20 · 26 Februar 2010

Ich versteh immernoch bahnhof.
alsooo Aufgabe 3-7 im Skript

- x2 - 5 / x1 - 10
dann stehen da die werte 0,5 und 2 <--- wie kommt man darauf?
dann weiter eingesetzt kommt (20,10) und (15,15) raus.

kann mir jemand da den rechenweg bitte nochmal schritt für schritt erklären???

danke schon mal.

ChrissiLLB · 26 Februar 2010

EVWL KE 1 Seite 44 Aufgabe 3-7

Kartoffeln x1 = 20

Apfelsaft x2 = 10

Nutzenfunktion: U(x1, x2) = (x1 - 10) * (x2 - 5)

1. Erhaltung des Nutzenwertes falls 5 l mehr Apfelsaft

Es muss gelten: U(20, 10) = U(20 + dx1, 10 + 5)

(20 - 10) * (10 - 5) = 50 = (20 + dx1 - 10) * (15 - 5)

50 = (20 + dx1 - 10) * 10

50 = 200 + 10 * dx1 - 100

dx1 = (50 - 200 + 100) / 10 = -5

Also: Für 5 l mehr Apfelsaft würde er auf 5 Kg Kartoffeln verzichten.

Probe:

U(20 - 5, 10 + 5) = (25 - 10) * (15 - 5) = 50 = (20 - 10) * (10 - 5) = U(20, 10)

2. Grenzrate der Substitution

GRS(x2, x1)[/COLOR]
= dx2/dx1[/COLOR]
= - (dU/dx1) / (dU/dx2)
= - (x2 - 5) / (x1 - 10)[/COLOR]

GRS(20, 10) = - (10 - 5) / (20 - 10) = -0,5

GRS(15, 15) = - (15 - 5) / (15 - 10) = -2

Zur GRS kommt man alternativ über die direkte Ableitung der Isoquante (mühsamer):

U = (x1 - 10) * (x2 - 5) = x1 * x2 - 5 * x1 - 10 * x2 + 50

U - 50 + 5 * x1 = x1 * x2 - 10 * x2 = x2 * (x1 - 10)

Isoquante: x2 = (U - 50 + 5 * x1) / (x1 - 10)

Ableitung der Isoquante:

GRS(x2, x1) [/COLOR]
= dx2/dx1[/COLOR]
= (5 * (x1 - 10) - (U - 50 + 5 * x1)) / (x1 - 10)^2 ...// Quotientenregel
= (5 * (x1 - 10) - ([/COLOR](x1 - 10) * (x2 - 5) - 50 + 5 * x1)) / (x1 - 10)^2 ...// U einsetzen
= (5 * (x1 - 10) - (x1 * x2 - 5 * x1 - 10 * x2 + 50 - 50 + 5 * x1)) / (x1 - 10)^2
= (5 * (x1 - 10) - x1 * x2 + 10 * x2) / (x1 - 10)^2
= (5 * (x1 - 10) - x2 * (x1 - 10)) / (x1 - 10)^2 ...// x2 ausklammern
= (x1 - 10) * (5 - x2) / (x1 - 10)^2 ...// (x1 - 10) ausklammern
= (5 - x2) / (x1 - 10) ...// 1 mal (x1 - 10) wegkürzen
= (5 - x2) / (x1 - 10)
= - (x2 - 5) / (x1 - 10)[/COLOR]

Liebe Grüße

starbuck · 27 Februar 2010

Also Chrissi, ich möchte Dir an dieser Stelle wirklich mal Respekt zollen, dass Du Dir bei jeder Frage hier so eine riesen Mühe gibst.

Wenn`s Dich hier im Forum nicht gäbe...

Snoopy20 · 27 Februar 2010

Ja chrissi, wirklich großen respekt an dich, dass du dir immer so viel mühe gibst!!
ich habe es jetzt auch verstanden 🙂
ganz großes danke!!

ChrissiLLB · 27 Februar 2010

Gerne!

Liebe Grüße

Burgwurst · 5 März 2010

ich hätte auch nochmal ne Frage. Ist bestimmt ne ganz einfache Sache, aber mir fällt gerade der mathematische Weg nicht ein. In deinem Beitrag #2 schreibst du bei der 1. Möglichkeit die Umformung nach x1 auf. Dabei ist mir x1^1/2 = U * x2^-1/2 vollkommen klar. Aber beim nächsten Schritt eliminierst du das x1^1/2 zu nur x1 und somit die Gleichung zu x1=U^2*x2^-1.

Wie lautet das mathematische Gesetz nochmal um aus x^1/2 = x zu machen?? Die Exponenten der Gleichung mit dem Kehrwert, also 2/1, multiplizieren??

starbuck · 5 März 2010

(x^1/2)^2 = x

Also einfach alle Funktionsteile quadrieren.

x1^1/2 = U * x2^-1/2 | ^2
(x1^1/2)^2 = U^2 * (x2^-1/2)^2
x1 = U^2 * x2^-1 = U^2 / x2

Entsprechend hat Deine Aussage gestimmt. Grundsätzlich mit dem Kehrwert multiplizieren ergibt 1, allerdings ist das bei Exponenten, indem man mit dem Kehrwert "exponiert" (?) 😱

(x^3/2)^2/3 = x

Gruß
Thomas

Sedoy · 21 Mai 2010

ich habe angefangen mit EBWL1 und habe ein Problem mit der Aufgabe 5 (a):
Bestimmen Sie GRS(2,1)
Produktionsfunktion: M(r1,r2) = 4r1^2*r2

Die Lösung im Heft: GRS(2,1) = -M/2 * r1^-3

ich bekomme aber: GRS(2,1) = -M/4 * r1^-3

r2 = M / 4r1^2
GRS(2,1) = dr2/dr1 = -(M/r1)/(M/r2) = - (M/r1)/(M/(M/4r1^2)) = - 1/r1 * M/4r1^2 = - M/4r1^3

Wocher kommt die 2? Was mache ich falsch?

ChrissiLLB · 21 Mai 2010

Sedoy schrieb:
r2 = M / 4r1^2
GRS(2,1) = dr2/dr1 = -(M/r1)/(M/r2) = - (M/r1)/(M/(M/4r1^2)) = - 1/r1 * M/4r1^2 = - M/4r1^3

Wocher kommt die 2? Was mache ich falsch?

Danke im Voraus!

Produktionsfunktion: M = 4 * r1^2 * r2

Es gibt zwei Wege die GRS(2,1) zu berechnen:

1. Weg: "Ableitung der Isoquante"

r2 = M / (4 * r1^2)

GRS(2,1)[/COLOR]
= dr2/dr1 ..............................// dr2/dr1 ist die Ableitung von r2 = M / (4 * r1^2) nach r1
= -2 * M / (4 * r1^3)
= -M / (2 * r1^3)
= -M/2 * r1^-3
= -(4 * r1^2 * r2)/2 * r1^-3 ...// M = 4 * r1^2 * r2 einsetzen
= -2 * r2/r1

2. Weg: "Totales Differential = 0"

GRS(2,1)[/COLOR]
= - (dM/dr1) / (dM/dr2) ...........// dM/dr1 (dM/dr2) ist die Ableitung der Produktionsfunktion M nach r1 (r2)
= - (8 * r1 * r2) / (4 * r1^2)
= -2 * r2/r1

Also: GRS(2,1) = -2 * r2/r1

Liebe Grüße

Sedoy · 23 Mai 2010

Danke Chrissi,

ich habe die Regel für Potenzfunktionen ( x^n = n*x^(n-1) ) vergessen.

Erebia · 16 Januar 2011

bin auf der Suche nach ein wenig Hilfe auf dieses Forum gestossen.
Warum heißt es hierbei nicht dx2/dx1?

Sunset · 18 Januar 2011

habe in dem Zusammenhang auch mal eine Frage! Bei der GRS in einem Punkt gilt ja: GRS= -dx2/dx1. Was bedeutet jetzt genau das "d" vor dem x? Ist das lediglich ein Zeichen für die 1. Ableitung nach x1 bzw. x2?

Und noch eine Frage zur oben besprochenen Aufgabe 3-7 im Skript: Warum werden bei der Frage nach der GRS im Teil b) lediglich die entsprechenden Teile der Nutzenfunktion in -dx2/dx1 eingesetzt, aber nicht abgeleitet?

ChrisGleie · 7 Februar 2011

ChrissiLLB schrieb:
Produktionsfunktion: M = 4 * r1^2 * r2

Es gibt zwei Wege die GRS(2,1) zu berechnen:

1. Weg: "Ableitung der Isoquante"

r2 = M / (4 * r1^2)

GRS(2,1)[/COLOR]
= dr2/dr1 ..............................// dr2/dr1 ist die Ableitung von r2 = M / (4 * r1^2) nach r1
= -2 * M / (4 * r1^3)
= -M / (2 * r1^3)
= -M/2 * r1^-3
= -(4 * r1^2 * r2)/2 * r1^-3 ...// M = 4 * r1^2 * r2 einsetzen
= -2 * r2/r1

2. Weg: "Totales Differential = 0"

GRS(2,1)[/COLOR]
= - (dM/dr1) / (dM/dr2) ...........// dM/dr1 (dM/dr2) ist die Ableitung der Produktionsfunktion M nach r1 (r2)
= - (8 * r1 * r2) / (4 * r1^2)
= -2 * r2/r1

Also: GRS(2,1) = -2 * r2/r1

Liebe Grüße
Chrissi

Danke schön- ich habe heute Nachmittag zwei Stunden an einer Übungsaufgabe aus dem Hering Buch "gebastelt". Jetzt hat es mit Deinen Hinweisen perfekt geklappt.

Ol.Bo. · 23 April 2013

die Erklärungen zu der Aufgabe 5a aus BWL KE1 ist ziemlich ausführlich... und trotzdem komme ich nicht mit 🙁 .
Könnte mir vielleicht jemand erklären wie man auf diesen Ausdruck kommt = -2 * M / (4 * r1^3) ??
Woher kommt die -2?

LG
Ol.

ChrissiLLB · 23 April 2013

Ol.Bo. schrieb:
Hallo zusammen,

die Erklärungen zu der Aufgabe 5a aus BWL KE1 ist ziemlich ausführlich... und trotzdem komme ich nicht mit 🙁 .
Könnte mir vielleicht jemand erklären wie man auf diesen Ausdruck kommt = -2 * M / (4 * r1^3) ??
Woher kommt die -2?

LG
Ol.

Hallo Ol,

wie heißt die Produktionsfunktion und was ist gesucht?

Liebe Grüße

Ol.Bo. · 23 April 2013

ChrissiLLB schrieb:
Hallo Ol,

wie heißt die Produktionsfunktion und was ist gesucht?

Liebe Grüße
Chrissi

Hallo Chrissi,

dass ist immer noch die Aufgabe, die im Jahr 2011 schon diskutiert wurde...

Bestimmen Sie GRS(2,1)
Produktionsfunktion: M(r1,r2) = 4r1^2*r2

Produktionsfunktion: M = 4 * r1^2 * r2

Es gibt zwei Wege die GRS(2,1) zu berechnen:

1. Weg: "Ableitung der Isoquante"

r2 = M / (4 * r1^2)

GRS(2,1)[/COLOR]
= dr2/dr1 ..............................// dr2/dr1 ist die Ableitung von r2 = M / (4 * r1^2) nach r1
= -2 * M / (4 * r1^3)
= -M / (2 * r1^3)
= -M/2 * r1^-3
= -(4 * r1^2 * r2)/2 * r1^-3 ...// M = 4 * r1^2 * r2 einsetzen
= -2 * r2/r1

2. Weg: "Totales Differential = 0"

GRS(2,1)[/COLOR]
= - (dM/dr1) / (dM/dr2) ...........// dM/dr1 (dM/dr2) ist die Ableitung der Produktionsfunktion M nach r1 (r2)
= - (8 * r1 * r2) / (4 * r1^2)
= -2 * r2/r1

Also: GRS(2,1) = -2 * r2/r1

Es wäre echt super, wenn die Zwischenschritte auch aufgeführt werden könnten.

LG

Ol.

ChrissiLLB · 23 April 2013

Ol.,

Ol.Bo. schrieb:
Könnte mir vielleicht jemand erklären wie man auf diesen Ausdruck kommt = -2 * M / (4 * r1^3) ??
Woher kommt die -2?

Bestimmen Sie GRS(2,1)
Produktionsfunktion: M(r1,r2) = 4r1^2*r2

Produktionsfunktion: M = 4 * r1^2 * r2

1. Schritt: Bilde die Isoquante r2 = ...r1...

M = 4 * r1^2 * r2

M / (r1^2) = 4 * r2

M / (4 * r1^2) = r2

r2 = M / (4 * r1^2) -- Das ist die Isoquante für eine feste Ausbringungsmenge M > 0

2. Schritt: Leite die Isoquante r2 = M / (4 * r1^2) nach r1 ab

dr2/dr1 = -2 * M / (4 * r1^3)

Ol.Bo. schrieb:
Woher kommt die -2?

Die -2 entsteht bei der Ableitung von r2 nach r1

Folgende Ableitungsregel wird angewendet: (c * x^b)' = c * b * x^(b-1)

M / (4 * r1^2) ist gleich (M/4) * r1^-2

(M/4) * r1^-2 abgeleitet nach r1 (mit oben genannter Ableitungsregel) ist -2 * (M/4) * r1^-3

-2 * (M/4) * r1^-3 ist gleich -2 * M / (4 * r1^3)

Liebe Grüße
Chrissi

Ol.Bo. · 25 April 2013

vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort!

LG

Ol

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