EVWL KE 1 Seite 44 Aufgabe 3-7
Kartoffeln x1 = 20
Apfelsaft x2 = 10
Nutzenfunktion: U(x1, x2) = (x1 - 10) * (x2 - 5)
1. Erhaltung des Nutzenwertes falls 5 l mehr Apfelsaft
Es muss gelten: U(20, 10) = U(20 + dx1, 10 + 5)
(20 - 10) * (10 - 5) = 50 = (20 + dx1 - 10) * (15 - 5)
50 = (20 + dx1 - 10) * 10
50 = 200 + 10 * dx1 - 100
dx1 = (50 - 200 + 100) / 10 = -5
Also: Für 5 l mehr Apfelsaft würde er auf 5 Kg Kartoffeln verzichten.
Probe:
U(20 - 5, 10 + 5) = (25 - 10) * (15 - 5) = 50 = (20 - 10) * (10 - 5) = U(20, 10)
2. Grenzrate der Substitution
GRS(x2, x1)[/COLOR]
= dx2/dx1[/COLOR]
= - (dU/dx1) / (dU/dx2)
= - (x2 - 5) / (x1 - 10)[/COLOR]
GRS(20, 10) = - (10 - 5) / (20 - 10) = -0,5
GRS(15, 15) = - (15 - 5) / (15 - 10) = -2
Zur GRS kommt man alternativ über die direkte Ableitung der Isoquante (mühsamer):
U = (x1 - 10) * (x2 - 5) = x1 * x2 - 5 * x1 - 10 * x2 + 50
U - 50 + 5 * x1 = x1 * x2 - 10 * x2 = x2 * (x1 - 10)
Isoquante: x2 = (U - 50 + 5 * x1) / (x1 - 10)
Ableitung der Isoquante:
GRS(x2, x1) [/COLOR]
= dx2/dx1[/COLOR]
= (5 * (x1 - 10) - (U - 50 + 5 * x1)) / (x1 - 10)^2 ...// Quotientenregel
= (5 * (x1 - 10) - ([/COLOR](x1 - 10) * (x2 - 5) - 50 + 5 * x1)) / (x1 - 10)^2 ...// U einsetzen
= (5 * (x1 - 10) - (x1 * x2 - 5 * x1 - 10 * x2 + 50 - 50 + 5 * x1)) / (x1 - 10)^2
= (5 * (x1 - 10) - x1 * x2 + 10 * x2) / (x1 - 10)^2
= (5 * (x1 - 10) - x2 * (x1 - 10)) / (x1 - 10)^2 ...// x2 ausklammern
= (x1 - 10) * (5 - x2) / (x1 - 10)^2 ...// (x1 - 10) ausklammern
= (5 - x2) / (x1 - 10) ...// 1 mal (x1 - 10) wegkürzen
= (5 - x2) / (x1 - 10)
= - (x2 - 5) / (x1 - 10)[/COLOR]
Liebe Grüße