Frage zu VWL-Aufgabe mit Grenzproduktivitäten

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Thorsten83

Dr Franke Ghostwriter
Frage zu VWL-Aufgabe mit Grenzproduktivitäten

Hallo zusammen,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe, stammend aus der VWL-Klausur WS 08/09, Aufgabe 3:

Gegeben sei folgende neoklassische Produktionsfunktion:
[tex]x = 6 * v_1^{2/3} * v_2{1/3} [/tex]
Dabei sei x die jeweils produzierte Menge, [tex]v_1[/tex] die eingesetzte Menge des Produktionsfaktors Arbeit und [tex]v_2[/tex] die eingesetzte Menge des Produktionsfaktors Kapital.

Berechnen Sie die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren Arbeit ([tex]x_v_1[/tex]) und Kapital ([tex]x_v_2[/tex]) für einen Arbeitseinsatz [tex]v_1[/tex] in Höhe von 64 und einen Kapitaleinsatz [tex]v_2[/tex] in
Höhe von 64.

Mein Ansatz war der folgende:
- Die Produktionsfunktion partiell nach [tex]v_1[/tex] ableiten, um die Grenzproduktivität der Arbeit zu bekommen.

- Die Produktionsfunktion partiell nach [tex]v_2[/tex] ableiten, um die Grenzproduktivität des Kapitals zu bekommen.

- Danach in die jeweils partiell abgeleiteten Funktionen die die gegebenen Werte einsetzen.


Ist da schon mein Ansatz falsch oder habe ich vielleicht falsch abgeleitet? Da ich im partiellen Ableiten nicht ganz so fit bin, wäre es nett, wenn mir jemand die Ableitungen nennen könnte.

Viele Grüße & schönen Sonntag!
Thorsten
 
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Hier meine Ableitungen. Ich hoffe du steigst durch, der übernimmt die Formeln aus meinem Formelprogramm nämlich nicht und deshalb mußte ich es auf diese Weise schreiben:
nach v1
x= 2/3*6*v1^-1/3*v2^1/3
nach v2
x=1/3*6*v1^2/3*v2^-2/3
 
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Thorsten83 schrieb:
habe ich vielleicht falsch abgeleitet?
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Hallo Thorsten,

Du hast Deine Ableitungen gar nicht hingeschrieben. Du kannst Deine Lösungen auch mit der Musterlösung vergleichen. Hast Du dasselbe raus?

https://www.fernuni-hagen.de/ls_wagner/download/40501/musterloesung_teilklausur_ws0809.pdf

x = 6 * v1^2/3 * v2^1/3

dx/dv1
= 6 * 2/3 * v1^-1/3 * v2^1/3
= 4 * v1^-1/3 * v2^1/3

v1 = v2 = 64:

xv1 = 4 * 64^-1/3 * 64^1/3 = 4

dx/dv2
= 6 * 1/3 * v1^2/3 * v2^-2/3
= 2 * v1^2/3 * v2^-2/3

v1 = v2 = 64:

xv2 = 2 * 64^2/3 * 64^-2/3 = 2

Liebe Grüße
 
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danke für Eure Antworten!
Ich habe die gegebenen Werte in die Ableitungen von Ste82 eingesetzt und damit die richtige Lösung herausbekommen, d.h. ich habe die partiellen Ableitungen falsch gemacht. Mist, dachte ich weiß ungefähr wie das geht...
Könnt ihr mir vielleicht kurz erklären, wie man die Ableitungen bildet. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, welche Bestandteile der ursprünglichen Funktion ich belasse und welche ich mit ableite...

Gruß
Thorsten
 
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also mal doof gefragt 🙂
Wenn f(x) = x^n, dann ist ja f'(x) = n + x^(n-1). Soweit ist mir die normale Ableitung natürlich klar.
Muss ich dann bei der partiellen Ableitung den ursprünglichen Exponenten n immer vor die gesamte Funktion ziehen??


Gruß
Thorsten
 
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Thorsten83 schrieb:
Hallo Chrissi,

also mal doof gefragt 🙂
Wenn f(x) = x^n, dann ist ja f'(x) = n + x^(n-1). Soweit ist mir die normale Ableitung natürlich klar.
Muss ich dann bei der partiellen Ableitung den ursprünglichen Exponenten n immer vor die gesamte Funktion ziehen??
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Nein, wenn f(x) = x^n ist dann ist f'(x) = n * x^(n-1) und nicht "...+...".

Ja, das ist die Potenzregel, die geht so: (x^n)' = n * x^(n-1), dabei wird der Exponent vor die Variable als Faktor (*) geschrieben (nicht vor die Funktion) und der Exponent um eins verringert.

Liebe Grüße
 
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Sorry, hab + mit * auf der Tastatur verwechselt. Es heißt dann natürlich f'(x) = n * x^(n-1).

Aber bei deinen Lösungen oben sieht es aus, als wenn du den Exponent immer vor die Funktion ziehst:
x = 6 * v1^2/3 * v2^1/3

dx/dv1
= 6 * 2/3 * v1^-1/3 * v2^1/3
= 4 * v1^-1/3 * v2^1/3

v1 = v2 = 64:

xv1 = 4 * 64^-1/3 * 64^1/3 = 4

dx/dv2
= 6 * 1/3 * v1^2/3 * v2^-2/3
= 2 * v1^2/3 * v2^-2/3

Oder sehe ich das falsch?

SChon mal lieben Dank für deine Hilfe!
 
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Thorsten83 schrieb:
Aber bei deinen Lösungen oben sieht es aus, als wenn du den Exponent immer vor die Funktion ziehst
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Das liegt daran, dass der Funktionsterm nur aus einem Produkt besteht, allgemein gilt das nicht.

Beispiel:

f(x) = x^2 + 2 * x^3

Das ist eine Summe von Produkten

Ableitung f'(x) = 2 * x + 6 * x^2

Du siehst, die Exponenten werden jeweils nicht vor die Funktion geschrieben, sondern nur als Faktor vor die Variablen. Im übrigen kommen hier drei Ableitungsregeln zur Anwendung, nämlich

1) Summenregel: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Also: "Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen der Summanden"

Im Beispiel ist: f(x) = x^2 und g(x) = 2 * x^3

2) Faktorregel: (a * f(x))' = a * f'(x)

3) Potenzregel: (x^n)' = n * x^(n-1)

Liebe Grüße
 
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habe mir diese Aufgabe angeschaut und dachte das ich die Rechnung soweit verstanden hatte, nun habe ich versucht mir die gleiche Aufgabe aus der Übungsklausur SS2010 Nr.6 durch zu rechnen. X=5*V1^2/5 * V2^3/5 meine Ergebnisse waren für die Werte V1=V2=32
V1= 2
V2=3
Bei der Rechnung bin ich so vorgegangen:
Xv1=5*2/5V1^-3/5*v2^3/5
32 für V1 und V2 eingesetzt =>
Xv1=2*32^-3/5 * 32^3/5 = 2 laut Musterlösung aber 3
Xv2=5*V1^2/5*3/5*V2^-2/5
32 für V1 und V2 eingesetzt =>
Xv2=5*32^2/5*3/5*32^-2/5 = 3 Laut Musterlösung 5
Wo liegt mein Fehler könnte mir da wer weiter helfen?
mfg Alex
 
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Alex,

Du musst die Aufgabenstellung richtig lesen!

In 09/2010 Aufgabe 6a) ist nach der Grenzproduktivität von Kapital (v2) gefragt,
also dx/dv2, für Arbeit v1 = Kapital v2 = 32

dx/dv2
= 3/5 * 5 * v1^2/5 * v2^-2/5
= 3 * v1^2/5 * v2^-2/5

Für v1 = v2 = 32: 3 * 32^2/5 * 32^-2/5 = 3 * 32^0 = 3 * 1 = 3

In 09/2010 Aufgabe 6a) ist nach der Durchschnittsproduktivität von Kapital (v2) gefragt,
also x/v2, für Arbeit v1 = Kapital v2 = 32

x/v2
= (5 * v1^2/5 * v2^3/5) / v2
= 5 * v1^2/5 * v2^3/5 * v2^-1
= 5 * v1^2/5 * v2^-2/5

Für v1 = v2 = 32: 5 * 32^2/5 * 32^-2/5 = 5 * 32^0 = 5 * 1 = 5

Liebe Grüße
 
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kurze frage zur Sicherheit. Bei der Aufgabe 6 in der Klausur 09/2010, Teil c) Da muss ich doch folgendes rechnen: dx/dv2 * v2/x da dx/v2 in a schon ausgrechnet wurde, weiss ich das es 3 ist. v2/x ist ja die Lösung aus b) nur umgekehrt, also 1/5. Ergebnis ist dann 0,6. Ist das soweit richtig? Danke schon mal.
 
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