Embi,
also, nach was zu erst abgeleitet wird, das kommt auch immer darauf an, wie die Achsen beschriftet sind. Ich unterstelle jetzt einfach mal, dass an der y-Achse [tex] r_1 [/tex] und an der x-Achse [tex] r_2 [/tex] steht. Die GRS bekommst Du dadurch, dass Du das TOTALE Differential bildest unter der Berücksichtigung, dass [tex] dx = 0 [/tex] gilt, da alle Kombinationen von [tex] r_1 [/tex] und [tex] r_2 [/tex] ja zum gleichen Output [tex] x [/tex] führen. Die GRS leitet sich also aus dieser Gleichung ab:
[tex] dx = \frac{\partial x}{\partial r_1} dr_1 + \frac{\partial x}{\partial r_2} dr_2 = 0 [/tex]
Umstellen führt zu
[tex] \frac{dr_1}{dr_2} = - \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} [/tex]
Für die Minimalkostenkombination brauchst Du ja noch die Kosten, also [tex] K = q_1 * r_1 + q_2 * r_2 [/tex]. Wenn Du die Gerade in das Diagramm einzeichnest, musst Du die Gleichung vorher nach [tex] r_1 [/tex] umstellen: [tex] r_1 = - \frac{q_2}{q_1} * r_2 + \frac{K}{q_1} [/tex]. Die Steigung dieser Geraden ist [tex] \frac{dr_1}{dr_2} = - \frac{q_2}{q_1} [/tex].
Also gilt
[tex] \frac{dr_1}{dr_2} = - \frac{q_2}{q_1} = - \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} [/tex]
[tex] \frac{q_2}{q_1} = \frac{\frac{\partial x}{\partial r_2}}{\frac{\partial x}{\partial r_1}} [/tex]
Ich hoffe, dass Dir das jetzt bei Deiner Frage weiterhilft.
Grüße!
