Diejenigen Nutzenfunktionen,deren Grenzraten der Substitution identisch sind? Ist das richtig?
Interessante Behauptung! Kennt jemand ein Gegenbeispiel?
Wenn U und V dieselbe GRS haben, dann bilden sie auch dieselbe Präferenzordnung ab, das erscheint mir klar (oder ist es das nicht? Gegenbeispiel?).
Nun ist allerdings die Frage, ob U und V dieselbe GRS haben müssen, wenn sie dieselbe Präferenzordnung abbilden oder ist es möglich, dass U und V dieselbe Präferenzordnung abbilden, aber verschiedene GRS haben?
Ich habe mir folgenden Beweis überlegt, dass U und V tatsächlich dieselbe GRS haben, wenn sie diesselbe Präferenzordnung abbilden. Findet jemand einen Fehler?
Seien U und V zwei Nutzenfunktionen, die dieselbe Präferenzordnung abbilden.
Behauptung: U und V haben dieselbe GRS, d.h. es gilt GRS(U) = GRS(V) für einen beliebigen Faktor
Beweis:
Da U und V diesselbe Präferenzordnung abbilden, gibt es eine Funktion h(X) mit dh/dX > 0 und V(X, Y) = h(U(X, Y))
Nun gilt:
GRS(V)
= dY/dX (V)
= (dV/dX) / (dV/dY)
= (dh/dU(X, Y) * dU/dX) / (dh/dU(X, Y) * dU/dY) ...// in Zähler und Nenner Ableitung von h(U(X, Y)) mit Kettenregel,
.....................................................................// beachte im Nenner: dh/dU(X, Y) > 0
= (dU/dX) / (dU/dY) ...// dh/dU(X, Y) in Zähler und Nenner kürzen sich weg
= dY/dX (U)
= GRS(U)
Hat der Beweis einen Fehler? Kann jemand ein Gegenbeispiel nennen?
Liebe Grüße
