VWL Trainer GRS

Beiße mir gerade an folgender Aufgabe die Zähne aus.

Wie lautet die Grenzrate der Gütersubstitution für folgende Nutzenfunktion?

U= 3x1^1/3 * x2^2/3.

Die Formel lautet doch dx2/dx1 = -( dU/dx1 : dU/dx2)

Ich komme bis zu: 0 = -( x1^-2/3 * x2^2/3 : 2x1^1/3 * x2^-1/3)

Und dann hänge ich... 😕

Schon mal vorab vielen Dank
Gruß Babs

0 = ... ist hier fehl am Platz, schließlich geht es nicht um das Lösen einer Gleichung

GRS(x2, x1)[/COLOR] d.h. die Grenzrate der Substitution von x2 durch x1
= dx2/dx1[/COLOR]
= - (dU/dx1) / (dU/dx2)
= - (3 * 1/3 * x1^-2/3 * x2^2/3) / (3 * 2/3 * x1^1/3 * x2^-1/3)
= - (x1^-2/3 * x2^2/3) / (2 * x1^1/3 * x2^-1/3) ...// So weit warst Du schon!
= -1/2 * x1^(-2/3-1/3) * x2^(2/3+1/3)
= -1/2 * x1^-1 * x2^1
= -1/2 * x2/x1[/COLOR]

Alternative kann dx2/dx1 auch berechnet werden, in dem die Isoquante x2 = I(x1) berechnet und nach x1 abgeleitet wird:

U = 3 * x1^1/3 * x2^2/3

x2^2/3 = 1/3 * U * x1^-1/3

Isoquante: x2 = (1/3)^3/2 * U^3/2 * x1^-1/2

GRS(x2, x1)[/COLOR]
= dx2/dx1[/COLOR]
= -1/2 * (1/3)^3/2 * U^3/2 * x1^-3/2
= -1/2 * (1/3)^3/2 * (3 * x1^1/3 * x2^2/3)^3/2 * x1^-3/2 ...// U einsetzen
= -1/2 * (1/3)^3/2 * 3^3/2 * x1^1/2 * x2 * x1^-3/2
= -1/2 * (3/3)^3/2 * x1^-1 * x2
= -1/2 * x2/x1[/COLOR]


Liebe Grüße

Supi. Vielen Dank für Deine Antwort!

VG Babs

ich sitze gerade über der Aufgabe und -- wie mein Name schon verrät- , steht es bei mir was Mathe angeht leider nicht zum Besten. Könnte mir evtl. jemand kurz erklären, warum aus

= - (x1^-2/3 * x2^2/3) / (2 * x1^1/3 * x2^-1/3)

= -1/2 * x1^(-2/3-1/3) * x2^(2/3+1/3)

wird? Also die Exponenten werden in die Klammern übernommen - soweit ok - aber warum ändert sich das Vorzeichen?
Ebenso komme ich nicht dahinter warum x1^-2/3 * 2 * x1^1/3 = 1/2 * x1^(-2/3-1/3) sein sollen?
Vielen Dank vorab ...

hoffe ich erkläre das nun richtig:
Also wenn eine Potenz unter halb des Bruches steht z.B.: 1/a^2 kann man das auch so schreiben a^-2 daraus folgt das du den Bruch auflösen kannst und alle Potenzwerte die unter dem Bruchstrich stehen mit einem Minus belegen kannst. Da aber bei einem -(-) ein Plus folgt wird aus a^-(-2) ein a^+2.
In der Aufgabe fehlt ein Umformungschritt deshalb ist es dir wahrscheinlich nicht ganz verständlich
So würde ich es machen:
= - (x1^-2/3 * x2^2/3) / (2 * x1^1/3 * x2^-1/3)
= -(x1^-2/3*x2^2/3) *1/2*x1^-1/3*x2^-(-1/3)
=-(x1^-2/3*x2^2/3)*1/2*x1^-1/3*x2^1/3
und dann
= -1/2 * x1^(-2/3-1/3) * x2^(2/3+1/3)
Hoffe das ich jetzt nix falsches gesagt habe und es dir weiter hilft

Hey Lando,

vielen lieben Dank dass Du Dich meiner Frage angenommen hast - der Zwischenschritt wars irgendwie tatsächlich. Kann nur hoffen dass in der Klausur nicht allzu wilde Zahlenkombis drankommen...

Schönes WE

Lando32 schrieb:

Hi,
hoffe ich erkläre das nun richtig:
Also wenn eine Potenz unter halb des Bruches steht z.B.: 1/a^2 kann man das auch so schreiben a^-2 daraus folgt das du den Bruch auflösen kannst und alle Potenzwerte die unter dem Bruchstrich stehen mit einem Minus belegen kannst. Da aber bei einem -(-) ein Plus folgt wird aus a^-(-2) ein a^+2.
In der Aufgabe fehlt ein Umformungschritt deshalb ist es dir wahrscheinlich nicht ganz verständlich
So würde ich es machen:
= - (x1^-2/3 * x2^2/3) / (2 * x1^1/3 * x2^-1/3)
= -(x1^-2/3*x2^2/3) *1/2*x1^-1/3*x2^-(-1/3)
=-(x1^-2/3*x2^2/3)*1/2*x1^-1/3*x2^1/3
und dann
= -1/2 * x1^(-2/3-1/3) * x2^(2/3+1/3)
Hoffe das ich jetzt nix falsches gesagt habe und es dir weiter hilft

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