Von der Dichtefunktion zur Verteilungsfunktion

Xyrodser · 9 August 2008

bei mir ist Mathe schon ein wenig her und ich habe eine Frage, die ihr mir hoffentlich beantworten könnt.

Ich weiß nicht genau, wie ich von der Dichtefunktion zur Verteilungsfunktion komme.
Ich weiß zwar, dass ich integrieren muss, aber wie bekommt ich die hintere Zahl (c) raus?!
Kann mir da jemand helfen?

Also folgendes Beispiel:

Funktion: 0,25x - 0,5
Integrall: 0,125 x2 - 0,5 x
Lösung: 0,125x2 - 0,5 x + 0,5

Woher bekomme ich die 0,5?

Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet - danke schön!

MfG
Markus

schmetterling · 9 August 2008

Stell dir den Weg andersrum vor. Wenn du eine Funktion von dem Aussehen hast: 0,125x² - 0,5x + 0,5 und du die ableitest bleibt stehen: 2*0,125x - 0,5.

Die +0,5 fallen beim Ableiten (weil da kein x mehr drin steht) also weg.

Wenn du jetzt integrierst musst du dir immer daran denken, dass in der Ursprungsfunktion auch sowas wie +0,5 (oder oft +/- c) stehen kann und dass das beim Ableiten dann wegfällt.

Natürlich ist das Integral das du ausgerechnet hast auch richtig, das +/- c muss nicht zwingend vorkommen in Funktionen - kann aber. In Statistik ist es ja oft so, dass verschiedene Funktionen vorgeschlagen werden und man muss sagen ob die passen oder nicht. Wenn du beim Integrieren unsicher bist, dann bilde einfach die Ableitung der vorgeschlagenen Stammfunktionen 😉 wenn sie angegeben sind.

viele Grüße
schmetterling

Xyrodser · 9 August 2008

vielen Dank für Deine Hilfe!
Ich bin inzwischen auch im Internet fündig geworden und weiß, wie man die Stammfunktionen finden kann - ist gar nicht so schwer.

Hier der Link für alle Leidensgenosse:

Mathematik: Statistik: Stetige Zufallsvariablen ? Wikibooks

Kann ich nur empfehlen!

Danke nochmals,

Markus

alex98 · 18 September 2008

hab auch so meine Probleme mit diesem Thema (und leider noch ein paar weiteren 🙁) aber werd diesen Link mal anschauen und hoffen dass auch bei mir der Knoten aufgeht...

Grüsse und alles Gute für Montag!
Alex.

Tannenbaum · 8 Mai 2009

Jetzt hole ich mal diesen alten thread wieder nach oben:

Genau obige Frage habe ich mir heute auch gestellt. Wie komme ich von:
Funktion: 0,25x - 0,5
Integral: 0,125 x2 - 0,5 x

zu:
Lösung: 0,125x2 - 0,5 x + 0,5 ?

Es ist mir alles soweit klar; Stammfunktion bilden kein Problem; aber woher kommen die 0,5?? Ist es richtig, wenn ich sage, diese obige Lösung ist eine von vielen möglichen (da es ja auch c sein kann, also beliebig)? Oder wie komme ich sonst auf diese 0,5?

Bitte um Hilfe...

Der in dieser speziellen Sache verzweifelte Tannenbaum

chris* · 8 Mai 2009

Tannenbaum schrieb:
Genau obige Frage habe ich mir heute auch gestellt. Wie komme ich von:
Funktion: 0,25x - 0,5
Integral: 0,125 x2 - 0,5 x

zu:
Lösung: 0,125x2 - 0,5 x + 0,5 ?

Was sind denn das für komische Dichtefunktionen? Kann mir nicht vorstellen, dass das über [tex]\mathbb{R}[/tex] so definiert ist.

Es ist mir alles soweit klar; Stammfunktion bilden kein Problem; aber woher kommen die 0,5?? Ist es richtig, wenn ich sage, diese obige Lösung ist eine von vielen möglichen (da es ja auch c sein kann, also beliebig)? Oder wie komme ich sonst auf diese 0,5?

Eine Verteilungsfunktion hat einige Eigenschaften, aus denen sich das ergibt:
- für x gegen minus unendlich geht sie gegen 0
- für x gegen plus unendlich geht sie gegen 1
- sie ist monoton wachsend
- und linksseitig stetig

Auf eure Beispiele passt das natürlich nicht, warum, kann ich nur spekulieren. Vielleicht sind die Funktionen ja eigentlich außerhalb eines Intervalls auf 0 gesetzt?

Armandus · 7 Juni 2009

So, bin ich wenigstens nicht der einzige, der an genau der gleichen Stelle sitzt und sich wundert.

Zitat von Tannenbaum

Genau obige Frage habe ich mir heute auch gestellt. Wie komme ich von:
Funktion: 0,25x - 0,5
Integral: 0,125 x2 - 0,5 x

zu:
Lösung: 0,125x2 - 0,5 x + 0,5 ?

Woher stammt das c, also +0,5????
Ich weiss zwar wie man eine Stammfunktion bildet, obwohl mein Integralwissen grad wieder aus tiefsten Tiefen hervorgefischt wird, aber da kommt immer nur ein unbestimmtes c heraus, da ja jedes beliebige c zu gleicher Funktion führt, wenn sie abgeleitet wird.....

Ich vermute auch, dass es rein willkürlich ist, was da steht. So einer eine bessere Idee hat, oder das bestätigen kann, bitte schreiben. Btw... ICH HASSE STATISTIK!

Gruß

Armandus

Nadine0207 · 7 Juni 2009

Ich glaub, ich weiß, wie man auf die 0,5 kommt.

Für Fx(x) gilt ja:

Fx(x) = Integral von fx(E) dE in den Grenzen von 2 bis x

d.h. Fx(x) = [1/8 E² - 0,5 E] = (1/8 x² - 0,5 x) - (1/8 * 2² - 0,5 * 2) = (1/8 x² - 0,5 x) - (-0,5) = 1/8 x² - 0,5 x + 0,5

Ihr müsst auf Seite 28 KE 7 mal nach schauen, da steht, wie man die Verteilungsfunktion für die verschiedenen Intervalle berechnet.

Sorry für die Form, aber ich kann leider kein LATEX 😱

Tannenbaum · 7 Juni 2009

Ich glaube ich kann da mittlerweile weiterhelfen: Nadine0207 liegt genau richtig; weiter gehts dann so (ich kann auch kein Latex...):

Fx(x) = Integral von fx(E) dE in den Grenzen von 4 bis x

d.h. Fx(x) = [-0,125 E²+1,5E] in den Grenzen 4 bis x
= -0,125 x²+1,5x-4

So, und jetzt muss noch die untere Grenze (also 4) in das erste Integral eingesetzt werden (die Fläche wurde ja schon dort berechnet und muss folglich hier abgezogen werden); es kommt -0,5 heraus

Das Ganze ergibt dann -0,125 x²+1,5x-4-(-0,5) = -0,125 x²+1,5x-3,5

Einverstanden???

Einen schönen Restsonntag!

Armandus · 9 Juni 2009

Nur nzur Abklärung, ob ich es nun verstanden habe...

Also nochmal das erste Integral von 2 bis x ist die Fläche unter der steigenden Geraden dar und zwar von 2 bis unendlich. Da kommt das Ergebnis korrekt heraus.
Das zweite Integral von 4 bis x stellt die Fläche unter der fallenden Gerade dar. Das Ergebnis davon ist -0,125x^2 +1,5x -4
Es müsste nun der Anschauung nach der Teil von 2 bis 4 unter der steigenden Geraden (also erstes Integral)addiert werden, damit man alle Flächen einbezieht. Das Ergebnis des INT (0,25x-0,5)dx von 2 bis 2 ist 0,5, den zum zweiten INT addieren und das Ergebnis kommt heraus

Ist das richtig?

Xenia · 10 September 2009

Leider muss ich dieses Thema nochmal auffrischen....habe ebenfalls richtige Probleme mit dem Thema.

Ich bin zwar auch nicht mehr sonderlich fit in Integralrechnung, aber wenn man ein Integral zwischen zwei Grenzen berechnet, setzt man doch zuerst die obere Grenze in die Funktion ein und dann die untere und subtrahiert beides voneinander.

@Tannenbaum und Nadine0207: Wieso habt ihr bei der Integralberechnung nur die Untergrenze eingesetzt?

Hoffe, wir können das Problem bis zur Klausur noch klären.

Viele Grüße, Xenia

Armandus · 10 September 2009

Wieso haben die doch gar nicht. Nur war in diesen entsprechenden Beispielen die obere Grenze x, dadurch kommen in die obigen Funktionen nach dem Integrieren nach dE wieder die x-e.

Von daher: bei einem UNBESTIMMTEN Integral, also ohne vorgegebene Grenzen erhältst du ein +c am Ende der Stammfunktion.
Sobald du Grenzen einsetzt konkretisiert sich das c auf einen Wert.

Und korrekt es heisst nach Bestimmung der Stammfunktion: obere Grenze MINUS untere Grenze. Dabei schön Klammern setzen, damit nicht irgendwo ein Vorzeichendreher reinkommt.

Xenia · 10 September 2009

Armandus,

gestern Abend ist es mir dann auch noch klar geworden...war dann nur zu faul den Rechner nochmal hochzufahren und hier zu antworten.

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Trotzdem danke für deine Hilfe.

Viele Grüße,

Xenia

D_Knoll · 11 September 2009

in die Runde:

Kann mir jemand weiterhelfen beim Berechnen von Sigma quadrat bei den Stichprobefunktionen?

Konkret: KE 9, Übungsaufgabe 5 a: wie kommt 20 im Zähler zustande? Vielen Dank für eure Hilfe!

Armandus · 11 September 2009

Ah, musste auch erst mal schauen.

Erstmal zur Klarstellung: sigma^2 bezieht sich auf die Grundgesamtheit, wie es auch in der Aufgabe steht. Also betrachtet man die 4 Kugeln, ihren Mittelwert und daraus die Varianz der Grundgesamtheit.
Die 4 Kugeln haben die werte 20,22,24,26. Daraus der Mittelwert ist xquer=mü= 1/N*SUmme aller x

Sigma^2= 1/N*Summe(xi-mü)^2

mü=23

Dann die Summer der Quadrate bilden. Und siehe da, 20 kommt raus.

Also: (20-23)^2+(22-23)^2+(24-23)^2+(26-23)^2= 9+1+1+9=20

Das ist der Zähler, dann durch die Anzahl der Kugeln, also N=4 teilen. Fertig ist sigma^2

parachutist · 11 September 2009

Xenia schrieb:
Hallo Armandus,

gestern Abend ist es mir dann auch noch klar geworden...war dann nur zu faul den Rechner nochmal hochzufahren und hier zu antworten.

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Trotzdem danke für deine Hilfe.

Viele Grüße,

Xenia

Also nochmal zum o.g. Beispiel 9b) aus KE 7

Von der Wahrscheinlichkeitsfunktion

mit fx(x) = 0,25x-0,5 für 2<x<=4
-0,125x +1,5 für 4<x<=6
0 sonst

wird durch integrieren mit variabler Obergrenze x die Verteilungsfunktion

Fx(x) = 0 für x<2
0,125x^2 -0,5x +0,5 für 2<=x<4
-0,125^2 +1,5x -4 für 4<=x<6
1 für x>=6

Wenn man das ganze in die Abb4 bei KE 7 zeichnet, sieht man bei x=2 F(x)=0; x=4 mit F(x)=0 und bei x=6 wird F(x)=1.

Von der Dichtefunktion zur Verteilungsfunktion

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