Vollständige Induktion

da in den alten Klausuren fast immer die VI vorkam will ich die gerne beherrschen (macht Sinn) aber ich blick bei der Vorgehensweise nicht durch, kann mir (und den anderen Deppen 😉 jemand Schritt für Schritt erklären wie das vorgehen an einem Beispiel wäre?

Klausur: 1142KWL11 Aufgabe 1

1 + SUMME (3k^2 + 3k +1) = (n + 1)^3

Induktionsanfang und Induktionsannahme bekomme ich hin aber beim Induktionsschluss (Beweiß für n+1 oder n-1) bekomme ich nichts auf die Kette.

Danke schon Mal.

Zum Beispiel so:
Induktionsannahme: [tex]1+\sum{k=1}^n (3k^2 + 3k + 1) = (n+1)^3[/tex]
Induktionsbehauptung: [tex]1+\sum{k=1}^{n+1} (3k^2 + 3k + 1) = (n+2)^3[/tex]

Du gehst von der Induktionsannahme aus und führst eine Operation aus, die die linke Seite der Induktionsbehauptung herstellt. Der Unterschied ist, dass in der Induktionsbehauptung die Summe bis [tex]n+1[/tex] läuft, also addierst du auf beiden Seiten den Term unter der Summe mit [tex]k=n+1[/tex], d.h. du addierst [tex]3(n+1)^2 + 3(n+1) + 1[/tex]

Ergibt
[tex]1+\sum{k=1}^{n+1} (3k^2 + 3k + 1) = (n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 3(n+1) + 1[/tex]

Jetzt musst du den binomischen Satz für n=3 kennen: [tex](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex], hier: [tex](n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 3(n+1) + 1 = ((n+1)+1)^3 = (n+2)^3[/tex]

Fertig.

Sorry, aber die Formeln lass ich TeX, bis der Admin das wieder einbaut. Ich hoffe, es ist auch so lesbar.

Die Formeln mit Tex sind bis morgen wieder da.

Oder so:


Induktionsschritt: n -> n+1

Zu zeigen ist:

((n+1) + 1)^3 = 1 + Summe_k_(1..n+1) (3 * k^2 + 3 * k + 1)

((n+1) + 1)^3
= ((n+1) + 1)^2 * ((n+1) + 1)
= ((n+1)^2 + 2 * (n+1) + 1) * ((n+1) + 1)
= (n+1)^3 + (n+1)^2 + 2 * (n+1) * (n+2) + (n+2)

Hier wende ich die Induktionsvoraussetzung auf (n+1)^3 an und beweise im folgenden dass was zu beweisen bleibt, nämlich dass die Restsumme, also

(n+1)^2 + 2 * (n+1) * (n+2) + (n+2)

das letzte Summenglied (also jenes für n+1) ist.

Ich beweise nun also, dass gilt:

(n+1)^2 + 2 * (n+1) * (n+2) + (n+2) = 3 * (n+1)^2 + 3 * (n+1) + 1

(n+1)^2 + 2 * (n+1) * (n+2) + (n+2)
= n^2 + 2 * n + 1 + 2 * n^2 + 4 * n + 2 * n + 4 + n + 2
= 3 * n^2 + 9 * n + 7
= 3 * n^2 + 6 * n + 3 + 3 * n + 3 + 1
= 3 * (n+1)^2 + 3 * (n+1) + 1

q.e.d.

Liebe Grüße

deka-online schrieb:

will ich die gerne beherrschen (macht Sinn) aber ich blick bei der Vorgehensweise nicht durch, kann mir (und den anderen Deppen 😉 jemand Schritt für Schritt erklären wie das vorgehen an einem Beispiel wäre?.

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Formal ist wenig zu tun. Im Induktionsschritt musst Du das Problem so zerlegen, dass Du auf ein Teilproblem die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst. Damit hast Du dann das große Problem auf ein bekanntes und schon gelöstes Problem (für 1 bis n) reduziert und mit dessen Lösung (Anwendung der Induktionsvoraussetzung) in ein Restproblem umgewandelt.


Der Rest (99%) ist eine Mischung aus Wissen, Erfahrung, Intuition und Knobelei. Und immer wieder anders. Da hilft kein Beispiel.

Um Missverständnisse zu vermeiden. So wie ich das oben hingeschrieben habe, ist mir der Beweis NICHT aus dem Hirn gepurzelt. Das ist nur die nachvollziehbare Reinschrift der Beweisarbeit.

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

...
Der Rest (99%) ist eine Mischung aus Wissen, Erfahrung, Intuition und Knobelei. Und immer wieder anders. Da hilft kein Beispiel.
...

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das habe ich leider gemerkt jede Klausur mit einer Aufgabe zur Induktion sieht absolut anders aus

Ich hätte auch noch eine frage und dazu habe ich eine Aufgabe mit meinen Notizen versehen.
Kann mir jemand meine Fragen in Rot beantworten?


Hoffe das gibt kein Problem von wegen Urheberrecht oder so.

Danke und Gruß,
Daniel

1/4 * 4 ergibt 1, es wurde also nichts verändert.
Das n steht zwischen den Klammern, weil es im ersten Summanden auch so steht, damit man besser erkennt, dass es sich um einen ähnlichen Term handelt.
Im vorletzten Schritt wird dann 1/4 (n+1)n(n-1) ausgeklammert und (n-2+4) ist das, was vom hinteren Summanden dann noch übrig bleibt
Gruß
Fini