Vollständige Induktion - der nächste Versuch

Vollständige Induktion - der nächste Versuch

Zeigen Sie:

0+1+3+5+...+(2n-1) = n^2

Induktionsanfang: n=0

0=0^2 ist ok.

Induktionsvoraussetzung:

0+1+3+5+...+(2n-1) + (2(n+1)-1) = (n+1)^2

Induktionsschritt:

0+1+3+5+...+(2n-1) = n^2 setze ich ein in die Induktionsvoraussetzung und erhalte:

n^2 + (2(n+1)-1) = (n+1)^2

Was richtig ist und damit ist es bewiesen.

Liege ich diesmal richtig?

Gruß, Nils

Wenn du zeigen willst, dass die angegebene Aussage für alle natürlichen Zahlen gelten soll, dann wirst du mit deiner Herleitung Schwierigkeiten haben, zu zeigen, dass sie z.B. für n = 2 gilt.

Du solltest den Schritt daher von A(n) auf A(n+1) bzw. von A(n-1) auf A(n) machen.

Nils Wrase schrieb:

Zeigen Sie:

0+1+3+5+...+(2n-1) = n^2

Induktionsanfang: n=0

0=0^2 ist ok.

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OK.

Induktionsvoraussetzung:

0+1+3+5+...+(2n-1) + (2(n+1)-1) = (n+1)^2

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Das ist die Aussage für n+1. Da ich nicht annehme, dass du im Induktionsschritt n+1 -> n+2 zeigen willst, ist das also schon falsch. Die Induktionsvoraussetzung ist: 0+1+3+...+(2n-1) = n^2 für ein n.

Induktionsschritt:

0+1+3+5+...+(2n-1) = n^2 setze ich ein in die Induktionsvoraussetzung und erhalte:

n^2 + (2(n+1)-1) = (n+1)^2

Was richtig ist und damit ist es bewiesen.

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Du nimmst die Behauptung, verknüpfst sie mit der Induktionsvoraussetzung, und schließt auf etwas wahres. Das beweist doch aber nicht die Behauptung!

Falsches Beispiel:
Behauptung: 1=0
Voraussetzung: 0*x=0 für alle x
Beweis: Setze ich einmal 0 und einmal 1 in die Voraussetzung ein, erhalte ich 0*1=0 und 0*0=0, also folgt aus 1=0 0=0, das ist wahr, also ist die Behauptung bewiesen.


So würde ich das machen. Für n=0 hast du's schon bewiesen. Sei jetzt n>=0. Die Induktionsvoraussetzung ist 0+1+3+...+(2n-1) = n^2. Addiert man auf beiden Seiten 2(n+1)-1 = 2n+1 erhält man 0+1+3+...+(2n-1)+(2n+1) = n^2 + 2n+1 = (n+1)^2 nach der binomischen Formel, und das ist gerade die Induktionsbehauptung. Das ist die Variante n -> n+1, und weil's so schön war jetzt noch für n-1 -> n:
Sei n>0, und sei die Aussage für 0...n-1 bewiesen, dann ist also (Induktionsvoraussetzung) 0+1+3+...+(2n-3) = (n-1)^2. Addiert man 2n-1 auf beiden Seiten ergibt sich 0+1+3+...+(2n-3)+(2n-1) = (n-1)^2 + 2n - 1 = n^2 - 2n + 1 + 2n - 1 = n^2, also gilt die Aussage auch für n.

chris* schrieb:

So würde ich das machen. Für n=0 hast du's schon bewiesen. Sei jetzt n>=0. Die Induktionsvoraussetzung ist 0+1+3+...+(2n-1) = n^2. Addiert man auf beiden Seiten 2(n+1)-1 = 2n+1 erhält man 0+1+3+...+(2n-1)+(2n+1) = n^2 + 2n+1 = (n+1)^2 nach der binomischen Formel, und das ist gerade die Induktionsbehauptung. Das ist die Variante n -> n+1, und weil's so schön war jetzt noch für n-1 -> n:
Sei n>0, und sei die Aussage für 0...n-1 bewiesen, dann ist also (Induktionsvoraussetzung) 0+1+3+...+(2n-3) = (n-1)^2. Addiert man 2n-1 auf beiden Seiten ergibt sich 0+1+3+...+(2n-3)+(2n-1) = (n-1)^2 + 2n - 1 = n^2 - 2n + 1 + 2n - 1 = n^2, also gilt die Aussage auch für n.

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Ja gut, wenn du das so aufschreibst, kann ich das auch nachvollziehen. Aber von selber komme ich da einfach nicht drauf. Ich glaube, ich könnte mich das gesamte Semester nur damit beschäftigen.

Vielen Dank für deinen Lösungsweg!

Gruß, Nils

Das glaub ich jetzt nicht. Die Beweisidee, also die reinen Rechenschritte hast du ja, nur die Logik in der Argumentation ist nicht richtig.

chris* schrieb:

Das glaub ich jetzt nicht. Die Beweisidee, also die reinen Rechenschritte hast du ja, nur die Logik in der Argumentation ist nicht richtig.

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Aber das ist ja irgendwie das wichtigste dabei!