Verständnis Linearkombination und lineare Un abhängigkeit

Verständnis Linearkombination und lineare (Un)abhängigkeit

Hallo Forengemeinde,

auch ich gehöre zu den zum SS08 gestarteten WiWi-Studenten und brüte gerade über Mathe für WiWi. Ich möchte nun ein paar Fragen stellen in der Hoffnung den Stoff richtig verstanden zu haben. Ich fürchte nämlich, dass ich einfach nur zu kompliziert denke. Ich versuche Mathe wirklich zu verstehen, und nicht einfach irgendwas auswendig zu lernen. 🙂

Meine Fragen:

1. "Linear abhängig" bedeutet, dass sich Vektoren nur trivial (also alle Skalare = 0) in einen Nullvektor überführen lassen, oder? Ich bin mir bei der korrekten Ausdrucksweise unsicher. Will sagen: Alle Skalare müssen 0 sein, damit am Ende der Vektor (0,0) rauskommt. "Linear unabhängig" heißt im Gegensatz: Es gibt eine nicht triviale Lösung, es kann also ein Skalar ungleich 0 sein.

2. Linear abhängige Vektoren lassen sich in einem Koordinatensystem auf einer Geraden darstellen. Irgendwie schließe ich daraus das linear abhängige Vektoren immer ein Vielfaches eines bestimmten Vektors sind. Linear unabhängige Vektoren bilden eine Ebene.

3. Sobald drei Vektoren im Spiel sind, sie immer l.a - solange wir uns im R² bewegen. Bei R³ müsste das ja dann wieder anders sein, oder?

4. "Linear abhängig" heißt: Vektoren liegen in einem Koordinatensystem auf einer Geraden. "Linear unabhängig" heißt: Vektoren liegen nicht auf einer Geraden, sondern bilden eine Ebene.

Ich bin mir bei einigen Begrifflichkeiten und Ausdrucksweisen einfach unsicher. Habe ich die einzelnen Punkte so einigermaßen begriffen, oder bin ich einfach nur verwirrt. 🙂

Danke für eure Hilfe.

bla!zilla schrieb:

Hallo Forengemeinde

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Hallo bla!zilla,

herzlich willkommen im Studienservice 🙂

bla!zilla schrieb:

Ich versuche Mathe wirklich zu verstehen, und nicht einfach irgendwas auswendig zu lernen. 🙂

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Das ist eine gut und empfehlenswerte Strategie... :daumen:

bla!zilla schrieb:

1. "Linear abhängig" bedeutet, dass sich Vektoren nur trivial (also alle Skalare = 0) in einen Nullvektor überführen lassen, oder? Ich bin mir bei der korrekten Ausdrucksweise unsicher. Will sagen: Alle Skalare müssen 0 sein, damit am Ende der Vektor (0,0) rauskommt. "Linear unabhängig" heißt im Gegensatz: Es gibt eine nicht triviale Lösung, es kann also ein Skalar ungleich 0 sein.

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Stimmt NICHT! (Danke jobo für den Hinweis – da war ich selbst auf dem falschen Dampfer). Es ist genau umgekehrt: Bei "linear UNabhängigen" Vektoren gibt es nur die triviale Lösung. Diese triviale Lösung existiert immer, auch bei linear abhängigen Vektoren. (Logisch, wenn Du irgendwas mit Null multiplizierst, kommt immer null raus.) Bei den linear abhängigen gibt es aber zusätzlich auch nicht triviale Lösungen, und bei denen ist (mindestens) ein Skalar ungleich null.

bla!zilla schrieb:

3. Sobald drei Vektoren im Spiel sind, sie immer l.a - solange wir uns im R² bewegen. Bei R³ müsste das ja dann wieder anders sein, oder?

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Ja, im IR3 gibt es bis zu 3 linear unabhängige Vektoren. Du hast immer maximal so viele l.u. Vektoren wie die Dimension Deines Raumes ist.

bla!zilla schrieb:

4. "Linear abhängig" heißt: Vektoren liegen in einem Koordinatensystem auf einer Geraden. "Linear unabhängig" heißt: Vektoren liegen nicht auf einer Geraden, sondern bilden eine Ebene.

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Ja im Prinzip schon. Wenn Du nur zwei Vektoren hast, und die sind l.a., dann müssen sie auf einer Geraden liegen. Dann ist der eine Vektor ganz offenbar ein Vielfaches des anderen (das beantwortet auch Deine Frage 2).

Nimm z.B. (1,2) und (2,4). es ist offenbar 2*(1,2)=(2,4) . Mal die beiden mal in ein Koordinatensystem, dann siehst Du, dass sie l.a. sind und auf einer Geraden liegen.

Nun ist es aber so: wenn Du zwei l.u. Vektoren im IR2 hast und ein dritter Vektor kommt dazu – dann sind alle drei (!) Vektoren linear abhängig – obwohl sie nicht auf einer Gerade liegen müssen.

Nimm z.B. (1,0) und (0,1). Die sind l.u., weil sie sich NUR trivial zu (0,0) kombinieren lassen. 0*(1,0) + 0*(0,1)=(0,0). Wenn nun ein dritter Vektor dazu kommt (1,1), sind die drei l.a. – weil 1*(1,0)+1*(0,1)-1*(1,1)=(0,0) –
aber keiner der drei vektoren liegt auf einer Geraden. (Am besten, das malst Du Dir auch mal auf, dann siehst Du das).

bla!zilla schrieb:

Danke für eure Hilfe.

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Bitte & schöne Grüße ins schöne Leverkusen 🙂
(wo übrigens kein Aspririn hergestellt wird, das ist in Bitterfeld... 😉)

vielen Dank für deine Antworten. Da habe ich ja scheinbar doch was gelernt und auch verstanden. 😉

kridbonn schrieb:

Nimm z.B. (1,0) und (0,1). Die sind l.u., weil sie sich NUR trivial zu (0,0) kombinieren lassen. 0*(1,0) + 0*(0,1)=(0,0). Wenn nun ein dritter Vektor dazu kommt (1,1), sind die drei l.a. – weil 1*(1,0)+1*(0,1)-1*(1,1)=(0,0) – aber keiner der drei vektoren liegt auf einer Geraden. (Am besten, das malst Du Dir auch mal auf, dann siehst Du das).

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Okay, dann war meine vierte "Eselsbrücke" nur bedingt richtig. Ab einem dritten Vektor bin l.a., da ich in jedem Fall nicht trivial auf (0,0) komme, während ich bei l.u. Vektoren in jedem Fall trivial auf den Vektor (0,0) komme. Bei zwei Vektoren stimmt also meine 4. Annahme, bei einem dritten nicht mehr - zumindest wir uns im IR2 bewegen, korrekt?

kridbonn schrieb:

Bitte & schöne Grüße ins schöne Leverkusen 🙂
(wo übrigens kein Aspririn hergestellt wird, das ist in Bitterfeld... 😉)

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Da geht es nur um den Symbolcharakter. Das Bayer-Kreuz steht nun mal hier.

bla!zilla schrieb:

Okay, dann war meine vierte "Eselsbrücke" nur bedingt richtig. Ab einem dritten Vektor bin l.a., da ich in jedem Fall nicht trivial auf (0,0) komme, während ich bei l.u. Vektoren in jedem Fall trivial auf den Vektor (0,0) komme. Bei zwei Vektoren stimmt also meine 4. Annahme, bei einem dritten nicht mehr - zumindest wir uns im IR2 bewegen, korrekt?

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Ja. Du kannst IMMER trivial zu Null kombinieren, egal ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind. Sind sie aber l.u. kannst Du NUR trivial zur Null kombinieren.

bla!zilla schrieb:

Da geht es nur um den Symbolcharakter. Das Bayer-Kreuz steht nun mal hier. 🙂

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Fragt sich nur, wie lange noch...

kridbonn schrieb:

Stimmt – wobei die Betonung bei "linear abhängig" auf nur trivial liegt. Die triviale Lösung existiert immer, auch bei linear unabhängigen Vektoren. (Logisch, wenn Du irgendwas mit Null multiplizierst, kommt immer null raus.) Bei den linear UNabhängigen gibt es aber zusätzlich auch nicht triviale Lösungen, und bei denen ist (mindestens) ein Skalar ungleich null.

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Ist das nicht genau andersrum?

linear abhängig <=> es gibt nicht-triviale Lösungen
linear unabhängig <=> es nur die triviale Lösung
?

Gruß

jobo schrieb:

linear abhängig <=> es gibt nicht-triviale Lösungen
linear unabhängig <=> es nur die triviale Lösung

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Ähhh, richtig. Kleiner Fall von Verwirrung meinerseits... 😱

Ich hab's im Originalbeitrag geändert, um weitere Fragezeichen zu vermeiden...

@bla!zilla: Deine 1. Eselsbrücke ist also falsch. Unten in #4 hab' ich's aber richtig geschrieben (uff 😉).

Ah, okay. Vielen Dank für die hilfreichen Antworten.