Vektoren / Anzahl der Komponenten

mal ne ganz blöde Frage:

Es heißt ja, das linaer unabhängige Vektoren der Ebene bilden die Basis des R^n.
Die Art der Vektoren hängt ab von der Anzahl der Komponenten. Sie sind ja Bestandteil des Raumes der Anzahl der Komponenten.

Ich verstehe das jetzt so, das ein Vektor mit zwei Komponenten Bestandteil des R^2 ist und mit 3 des R^3 usw.
um einen R^2 aufzuspannen brauche ich ja 2 linear unabhängige Vektoren.

Gibt es auch den Fall, das ich 3 linear unabhängige Vektoren mit je 2 Komponenten habe, die dann einen R^3 aufspannen?
Wären diese dann baer weiterhin Bestandteil das Raumes R^2??

Unsere Mentor hat glaube ich sowas ähnliche letzte Woche noch gesagt und gestern sind wir (noch eine Mitstudentin) die Unterlagen nochmal durchgegangen und bei dem Thema hängen geblieben ... 😱
manchmal hat man aufeinmal ein Brett vorm Kopf und kommt nicht mehr drauf .... uurrggg

Grundsätzlich sind R^2 und R^3 total verschiedene Dinge.
Es gibt zwar Möglichkeiten, den R^2 in den R^3 einzubetten (z.B. um 0 in der 3. Komponente ergänzen) und eine 2-dim Ebene im R^3 "strukturerhaltend" auf den R^2 abzubilden.
Aber IMO sind diese Dinge im WiWi Studiengang eher weniger von Belang.

3 Vektoren des R^2 bleiben daher im R^2 und können auch keinen R^3 aufspannen. Nebenbei sind sie ganz sicher l.a.

PS: Es gibt hier irgendwo eine Diskussion zum Thema sind 2 l.u. Vektoren im R^3 ein Basis....

Ola,

ja das ist mir schon klar, ein R^2 ist eine Ebene, ein R^3 bildet den raum usw... was ich eigentlich wissen wollte, ob ein Vektor mit 2 Komponenten (Zahlen) auch einen R^3 aufspannen kann, wenn ich 3 l. u. davon habe??
Ich meine, 3 Vektoren l.u. - aber jeder Vektor nur 2 Komponete.

Wenn ich genau überlege, ist das doch falsch?? für eine R^3 brauche ich doch 3 komponente...

ich versuche mir das bildlich vorzustellen, aber das funktioniert nicht so ganz... ich bin nur verunsichert, weil der mentor dies angesprochen hat.

holdrio schrieb:

Ich meine, 3 Vektoren l.u. - aber jeder Vektor nur 2 Komponete.

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Das geht sicher nicht!

Super danke!!!!!

ich hab den dann bestimmt nur falsch verstanden ...

holdrio schrieb:

Es heißt ja, das linaer unabhängige Vektoren der Ebene bilden die Basis des R^n.

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Um eine Ebene aufzuspannen brauchst Du genau zwei linear unabhängige Vektoren der Dimension 2.

holdrio schrieb:

Die Art der Vektoren hängt ab von der Anzahl der Komponenten. Sie sind ja Bestandteil des Raumes der Anzahl der Komponenten.

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Wenn Du im ersten Satz "Art" durch "Dimension" ersetzt, wird er richtig, den 2. Satz verstehe ich nicht. 😕

holdrio schrieb:

Ich verstehe das jetzt so, das ein Vektor mit zwei Komponenten Bestandteil des R^2 ist und mit 3 des R^3 usw. um einen R^2 aufzuspannen brauche ich ja 2 linear unabhängige Vektoren.

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Genau. 🙂

holdrio schrieb:

Gibt es auch den Fall, das ich 3 linear unabhängige Vektoren mit je 2 Komponenten habe, die dann einen R^3 aufspannen?

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Nein, den gibt es nicht! Drei zwei-dimensionale Vektoren sind immer linear abhängig und Vektoren der Dimension n können höchsten einen Raum der Dimemsion n aufspannen.

jobo schrieb:

PS: Es gibt hier irgendwo eine Diskussion zum Thema sind 2 l.u. Vektoren im R^3 ein Basis....

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Ja, das war bei der Diskussion über die aktuelle EA. Nach strenger Auslegung der Definition im Skript sind sie es nicht, ich vertrete die Minderheitenmeinung, dass sie es doch sind, allerdings natürlich nicht vom R^3, sondern einem 2-dimensionalem Hyperaum.

Klara schrieb:

Ja, das war bei der Diskussion über die aktuelle EA. Nach strenger Auslegung der Definition im Skript sind sie es nicht, ich vertrete die Minderheitenmeinung, dass sie es doch sind, allerdings natürlich nicht vom R^3, sondern einem 2-dimensionalem Hyperaum. 😀

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Och komm, Minderheitenmeinung 😉
Das ist doch noch ein ausgeglichenes Unentschieden.

Wenn Du im ersten Satz "Art" durch "Dimension" ersetzt, wird er richtig, den 2. Satz verstehe ich nicht. 😕

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Das ist der Text von unserem Mentor!

"Die Art der Vektoren hängt von der Anzahl der Komponenten ab. Sie sind stets Bestandteil des Raumes der Anzahl der Komponenten."

So weit o gut, meine Frage ist gelöst! Danke an euch!!

Ich weiss ja nicht ob ich euch falsch verstanden hab.
Aber der R3 wird von 3 "R1-Vektoren"* aufgespannt,
nämlich den 3 Achsen (x, y, z) bzw in Vektoren ausgedrückt:
x-Achse: (1/0/0)
y-Achse: (0/1/0)
z-Achse: (0/0/1)
Daraus kann man jeden Vektor (a/b/c) im R3 darstellen:
a(1/0/0) + b(0/1/0) +c(0/0/1) = (a/b/c)

Aber das lernt man in der Schule in den ersten 2 Stunden wenn man Vektoren gelehrt bekommt, also hab ich euch vielleicht nur falsch verstanden.


* (Wobei ich das weiterhin als R3-Vektoren bezeichnen würde, denn
a) ist 0 auch nur ein normaler Zahlenwert
b) ist ein Vektor nur ein Pfeil der irgendwo im Raum ist, und nicht zwangsweise im Ursprung beginnt, sodass der Vektor überall im R3 sein kann
c) selbst wenn man den Vektor im Ursprung starten lassen würde wäre es doch unerheblich ob der Vektor zufällig entlang einer oder zweier Achsen führen würde oder in einen der 8 Sektoren hinein, um zu entscheiden ob R1, R2 oder R3 ?)


[edit]
achja, und zu den 3 2-elementigen linear unabhängigen Vektoren:
Denk dir 2 2-elementige Vektoren die eine Ebene aufspannen.
Die Ebene hat auch einen Stützvektor den du beliebig (mit 2 elementen) wählen kannst.
Dadurch kannst du auch jeden Punkt im R3 erreichen.