Übungsaufgabe zu Fisher-Hirshlifer

habe noch eine Übungsaufgabe zum Fisher-Hirshlifer gefunden, aber leider verstehe ich da einiges nicht.
Da sind Zwischenschritte bei den Rechnungen weggelassen (vermute ich), jedenfalls kann ich da einige Zahlen nicht mehr nachvollziehen. Kann mir bitte jemand helfen und die Aufgabe Schritt für Schritt erklären?

Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t=1 ein Anfangsvermögen von
22.000 DM. Ihm bieten sich zwei Investitionsobjekte, die sich nicht gegenseitig ausschließen. Das
erste Investitionsobjekt ermöglicht ihm bei einem Investitionsvolumen von 5.000 DM einen
Rückfluß in Höhe von 6.000 DM. Das zweite Investitionsobjekt erbringt ihm nach der Investition
von 10.000 DM einen Rückfluß in Höhe von 15.000 DM. Geldaufnahme- und
Geldanlagemöglichkeiten existieren vorerst nicht.

Berechnen Sie den optimalen Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion
U =C1⋅C2, wobei Ct den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Welches Nutzenniveau kann
er erreichen?

ich habe jetzt schon folgendes berechnet, was auch stimmt: investition 1 hat eine steigung von 1,5, investition 2 eine steigung von 1,2.
jetzt soll man das in die nutzenfunktion einsetzen und es soll rauskommen

max.U =C1⋅C2
1. Bereich: C2=−1,5⋅C1+33.000
U =−1,5*C1^2+33.000⋅C1 ⇒ dU/dC1=−3,0C1+33.000= 0
C1´=11.000 ⇒ keine zulässige Lösung

2. Bereich: C2=−1,2⋅C1+29.400
U =−1,2C1^2+29.400⋅C1 ⇒ dU/dC1=−2,4C1+29.400= 0
C1´=12.250 ⇒ keine zulässige Lösung
⇒ Ecklösung optimal:
C1´=12.000
C2´=15.000 ⇒ U´=180.000.000

Ausrechnen muss man da wohl die GRS, aber mir fehlen da eben die Zwischenschritte.
Wo kommen die 33.000 und die 29.400 her??
Musste man bei U= -1,5+C1^2+33000*C1 einfach mit C1 multiplizieren?

Ich hab ehrlich gesagt wenig Ahnung von Fisher, aber hat nicht I1 die Steigung 1,2 und I2 die Steigung 1,5?

Denn 6.000/5.000 = 1,2
und 15.000/10.000 = 1,5

Würde auch sagen, dass du die Investitionen vertauscht hast.

Ich versuch mal die Aufgabe zu erklären:
Möglich sind folgende Investitionen:
I1: (-5000/+6000), i1=0,2=20%
I2: (-10000/+15000), i2=0,5=50%

Am besten lässt sich das ganze graphisch betrachten. Das C1-C2- Diagramm gibt alle Möglichkeiten an, das Anfangsvermögen auf beide Zeitpunkte verteilt auszugeben. C1 = Konsum jetzt, C2=Konsum später

1. Alles am Anfang: C1=22T, C2=0 -> (22T/0) ist der erste Punkt, den man einzeichnen kann. (immer (C1/C2))
2. Investition mit dem höchsten Zins wird ausgeführt (ergibt 15T in t2), der Rest (22T-10T=12T) gleich ausgegeben. ->(12T/15T)
3. Verbinden der beiden Punkte ergibt die Kombinationen aus C1 und C2, die bei unvollständigem Durchführen der Investiton erreicht werden.
4. Das Gleiche für die zweite Investition:
neuer Startpunkt ist jetzt (12T/15T) weil ja erst die Investition mit dem höheren Zins durchgeführt wird und dann die mit dem niedrigeren Zins in Betracht gezogen wird.
vollständiges Durchführen -> (7T/21T)
wieder beide Punkte verbinden
5. Jetzt bleiben noch 7T, die ich ohne Zins aufheben kann und damit in t=2 auch 7T wert sind. -> (0/28). Wieder mit (7/21) verbinden.

Jetzt hast du die Transformationskurve. Die Steigungen der einzelnen Teile sind jeweils -(1+i). Die Punkte auf der Transformationskurve geben alle möglichen Kombinationen aus Konsum jetzt und Konsum später an.

Weiter zur Nutzenfunktion: Gesucht ist jetzt die Kombination aus C1 und C2, für die der Nutzen maximal wird. Das heißt, für die die Ableitung dU/dC1 null ist.

C2 ist abhängig von C1. Um dies zu berücksichtigen, muss C2 durch C1 ersetzt werden bevor man U ableiten kann.
Jetzt schaut man sich also wieder die drei Bereiche von vorhin an:

1. 12T<C1<22T: Steigung: -1,5
Hier ist C2= -1,5*C1+ y; y ist ein bisher noch unbekannter Wert.
Wir wissen aber, das (0/22) auf der Kurve liegt und können dies einsetzen:
0=-1,5*22T+y; Auflösen ergibt y=33T
C2= -1,5*C1+33T
Das können wir jetzt in U einsetzen:
U= C1*(-1,5*C1+33T)=-1,5*C1^2+33T*C1

Nutzenmaximierung: Ableitung nach C1=0
dU/dC1= -1,5*2*C1+33T=0
Auflösen: C1=11T, dies ist aber kleiner als der betrachtete Wertebereich (12T-22T) und damit nicht zulässig.

2. 7T<C1<12T: Steigung: -1,2
Rechnung analog zu 1. ergibt C1=12,25T; dies ist jetzt größer als der betrachtete Wertebereich.

Das "richtige" C1 liegt als auf dem Eckpunkt zwischen den beiden Investitionen.
-> C1=12T, C2=15T
optimaler Konsumplan: (12T/15T), maximaler Nutzen: U=12T*15T=180Mio

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Sehr schöne Erklärung, danke!
Ich hab nur eine kleine Anmerkung:

kworky schrieb:

I1: (-5000/+6000), i1=0,2%
I2: (-10000/+15000), i2=0,5%

Zum Vergrößern anklicken....

I1 = 0,2 = 20%
I2 = 0,5 = 50%

Äh ja, sorry.

Bei der Nutzenfunktion sprichst du von C1 und C2... sollen das C0 und C1 sein, oder ist das was neues? 🙂
Und U = C0 * C1 = 12T * 15T = 180 Mio. (nicht C0 + C1)
Nur, falls da später jemand drüber stolpert^^

Wenn ich den zweiten Fall nach dem Schema des ersten durchrechne, komme ich für C2 auf 12,25:
Steigung = -1,2
C1 = -1,2 * C0 + y
Wir wissen, dass (12; 15) auf der Kurve liegt (nächster Kurvenabschnitt)
15T = -1,2 * 12T + y
y = 29,4
C1 = -1,2 * C0 + 29,4
U = (-1,2 * C0 + 29,4) * C0
U‘ = -2,4 * C0 + 29,4 = 0 à C0 = 12,25

Wenn ich deine 12,1 mit 2,4 multipliziere, komme ich auf 29,04 - war das also nur ein Eingabefehler?

In manchen Büchern ist der Anfangszeitpunkt als t=0 und bei manchen als t=1 gegeben, dementsprechend dann entweder C0 und C1 oder C1 und C2. Ist also nur eine andere Notation. Hab mich da einfach an die Aufgabenstellung gehalten in der t=1 als Anfangszeitpunkt gegeben ist. Im Skript ist er immer t=0.

Kann sehr gut sein, dass ich mich da vertippt habe.

Oh man... In der Klausur sollte ich mich etwas mehr konzentrieren. Danke fürs Korrigieren!
Habs jetzt auch mal oben in meinem großen Beitrag verbessert. Dann stolpert man da weniger.

Oh vielen vielen Dank euch beiden. Ich hatte tatsächlich die 15.000 und die 10.000 vertauscht 😳 Jetzt ist die Aufgabe gleich viel logischer :cool