w1 ist die Wertangabe der Person 1, die nicht der Wahrheit entspricht.
v1 ist die wahre Nutzendifferenz.
Summe w-1 sind die Wertangaben der anderen Personen, addiert.
delta (w) sei geschrieben hier als 6(w) und sigma (w) als o(w) (stellt Euch einfach noch den kleinen Strich vor.)
Also weiter:
6(w) oder 6(v1, w-1) = 1, wenn die Kompensationsregel dazu führt, das das Projekt stattfindet, also wenn Summe w1 > 0 . Ist Summe w1 < 0, findet das Projekt nicht statt, also ist 6(w) oder 6(v1,w-1)=0
Findet das Projekt statt, dann zu der Menge z, denn Z(w):= 6 * z; das ist eine Angabe, die wir später zur Berechnung des U^1 brauchen.
Desweiteren muss nun noch herausgefunden werden, ob es die Steuer T gibt oder nicht. Es gibt sie nicht, wenn die aggregierte Wertangaben aller das gleiche Vorzeichen hat wie die aggregierte Wertangabe ohne die Person 1; es gibt sie aber, wenn es ungleiche Vorzeichen gibt. Dann ist Person 1 das „Zünglein an der Waage":
Gibt die Wertangabe des 1 den Ausschlag dafür, dass das Projekt nicht zustande kommt, muss er eine Steuer zahlen in Höhe der aggregierten Wertangabe aller Übrigen. Gibt die Wertangabe des 1 den Ausschlag dafür, dass das Projekt zustande kommt, dann muss er ebenfalls eine Steuer zahlen (wieder aggregierte Wertangabe aller Übrigen, aber dem Betrage nach, da hier Summe w-1 < 0 ).
Fazit: die zu zahlende Strafe des 1 ist ein Geldbetrag in Höhe des aggregierten Nettovorteils aller übrigen, den Person 1 durch seine Entscheidung seinen Mitbürgern entzieht.
Wie kommt man nun zu der Entscheidung, ob T oder nicht?
Ist Summe w-1 < 0, dann sign (Summe w-1)=-1, sonst ist sign(Summe w-1)=1
Ist Summe w<0, dann sign(Summe w) =-1, sonst ist sign(Summe w)=1
Nun: Ist sign (Summe w-1)*sign(Summe w) =1 (also -1*-1 oder 1*1), dann gibt es keine Steuer, also o=0 (ach, doof, ich schreib hier doch lieber: sigma=0)
Ist sign (Summe w-1)*sign(Summe w) =-1 (also -1*1 oder 1*-1), dann gibt es eine Steuer, also o=1.
Die Steuer ist formal T^i(w) = o^i(w)|Summe w-1|.
D.h. es bekommt Person 1 die Steuer, mit T^1(w)=1*|Summe w-1|= Summe w-1, wenn Person 1 versucht hat, seine negativen Nutzendifferenz noch größer macht, um das Projekt zu verhindern.
Wie ist nun sein Gesamtnutzen?
U^1 = V(Z(w)) - T^1(w). Hat Person 1 das Projekt verhindert, ist Z(w)=0, somit ist V(Z(w)) = 0, also ist U^i = - T(w).
Hat die Person 1 aber das Projekt nicht verhindert, dann gibt es keine Steuer, V(Z(w)) = V(z) = v1, also ist U^i = v1.
