Übung 2

Hat jemand schon die Übung 2 versucht zu lösen? Ich verzweifle momentan etwas.

[tex] f(x)=2x\cdot e^-x^2 [/tex] (Anmerkung: Formel habe ich leider nicht besser hinbekommen, im normalen Schreibstil ist es ja eigentlich bei e^-x^2 - also doppelte Potenzierung).

A: [tex] \int f(x)=-e^-x^2+c [/tex]

B: [tex] \int_{1}^\infty f(x)=-{\frac{1}{(e^2)}} [/tex]

C: [tex] \int_{2}^\infty f(x)=-{\frac{1}{e}} [/tex]

D: [tex] \int_{0}^\infty f(x)=1 [/tex]

E: [tex] \int_{0}^{1} f(x)=3 [/tex]

Wenn ich die partielle Integrationsregel [tex] \int f'(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) dx [/tex] anwende,
dann habe ich für [tex] \int 2x \cdot e^-x^2 dx [/tex] mit
[tex] f'= e^-x^2 [/tex]
[tex] f= -{\frac{1}{2}} e^-x^2 [/tex]
[tex] g=2x [/tex]
[tex] g'=2 [/tex] ein Ergebnis, wo ich bei den 5 Lösungsmöglichkeiten keine Zustimmung bekomme.
Mein Ergebnis ist dann:[tex] (-x-{\frac{1}{2}})e^-x^2 +c[/tex].
Wenn ich das aber einsetze in B-E, dann komme ich nie auf eine der Lösungen.

Verwende ich für:
[tex] f'=2x [/tex]
[tex] f=x^2 [/tex]
[tex] g= e^-x^2 [/tex]
[tex] g'= -2e^-x^2 [/tex],
dann komme ich auf gar keinen grünen Zweig... 😕

Wo mache ich was falsch?

Ich glaube, man kann die Aufgabe einfacher angehen. Wenn du die Funktion von A ableitest, stellst du fest, dass das Ergebnis genau die gegebene Funktion f(x) ist. Damit ist also die Funktion bei A eine Stammfunktion zu f(x). Mit dieser kannst du dann die anderen Lösungsmöglichkeiten überprüfen.

Danke für den Tipp. Das habe ich auch schon probiert. Aber wenn ich A ableite, komme ich auf [tex] 2e^-x^2 [/tex]. Da fehlt aber dann ein x, oder?

Deine Ableitung stimmt nicht ganz. Du musst die äußere Funktion ableiten und mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren, also -e^-x² * (-2x) und das ist f(x).

FUH-Fighter schrieb:

Danke für den Tipp. Das habe ich auch schon probiert. Aber wenn ich A ableite, komme ich auf [tex] 2e^-x^2 [/tex]. Da fehlt aber dann ein x, oder?

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Ein Tipp zur Formeldarstellung: Geschweifte Klammern verwenden, wenn ein Operator wie ^ nur auf einzelne Zeichen wirkt: 2e^{-x^2} = [tex]2e^{-x^2}[/tex]

Danke an Cenerentola, hat nun geklappt.

Danke auch an chris*

Noch einfacher hast du es, wenn du dir folgendes merkst:

Beim Integrieren einer e-Funktion in der Form, wie du sie hast, musst du einfach nur den Faktor vor dem e (2x) durch die Ableitung des Exponenten teilen (-2x) und die e-Funktion noch einmal komplett abschreiben.

[tex] \frac {2x} {-2x} \cdot e^{-x^2} [/tex]

Nach dem Kürzen bleibt dann nur noch[tex] -e^{-x^2} [/tex]

oder ganz einfach substituieren...

[tex] \int 2 x e^{-x^2} dx [/tex]
[tex] z=-x^2 [/tex]

[tex] \frac {dz} {dx} = -2x [/tex]
[tex] dx = \frac {dz} {-2x} [/tex]

[tex] \int 2 x e^z \frac {dz} {-2x} [/tex]

[tex] - \int e^z dz = -e^z + c = -e^{-x^2} + c [/tex]

Das heißt, dass nur Lösung A in Frage kommt?

Bei den anderen habe ich nämlich folgende Lösungen errechnet:

B: -(1/e) -> falsch
C: -(1/e^2) -> falsch
D: -1 -> falsch
E: -0,6321... -> falsch

Wenn man bei D) im Exponenten 0 einsetzt, dann hat man ja (-0)^2 und das ist dann 0. Und e^0 ist 1.
Für die Obersumme kommt 0 raus. Also 0-(-1). Das ist dann nicht -1.

Danke, den Fehler habe ich bei jeder Rechnung in der Aufgabe gemacht...

Wenn man bei D) im Exponenten 0 einsetzt, dann hat man ja (-0)^2 und das ist dann 0. Und e^0 ist 1.
Für die Obersumme kommt 0 raus. Also 0-(-1). Das ist dann nicht -1.

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Hallo Fuh-Fighter, wieso kommt bei der Obersumme 0 raus? Wenn ich eine höhere Zahl in den Taschenrechner einfüge, kommt etwas gegen unendlich raus. Was mache ich falsch?