Totales Differenzieren

Da es m VWL-Forum so ruhig ist, stelle ich meine Frage allg. Art hier:

ich setze mich gerade mit KE 4 auseinander und stehe etwas auf dem Schlauch, was das totale Differenzieren betrifft. In den Unterlagen des Klausurvorbereitungskurses steht, dass man die GRS durch toales differenzieren der Umweltbelastungsfunktion erhält. Diese lautet


B=2x+y

Als Ergebnis wird genannt: [-dy/dx]=2

Wieso ist das totlae Differential der o.g. Funktion 2?

Wenn ich die Funktion total differenziere, summiere ich die partiellen Ableitungen. Partielle Ableitung nach x ergibt 2.
Partielle Ableitung nach y ergibt 1
2+1=3

Hä?

Kann mir bitte jemand weiterhelfen.

Vielen Dank im Voraus.

Hoffe nicht, dass irgendwelche fiesen Kettenregeln, etc. in der Klausur gefragt sein werden.

[tex] B = 2x + y [/tex]

[tex] \partial B = 2 \partial x + \partial y [/tex]

B ist konstant, daher
[tex] \partial B = 0 [/tex]

[tex] 0 = 2 \partial x + \partial y [/tex]

[tex] \frac {\partial y} {\partial x} = -2 [/tex]

qed

vielen dank, nur zur sicherheit:

also forme ich

0=2dx+dy

um in

2dx=-dy

und daraus folgt

dy/dx=2

????

und in Zahlen

0=2x+y
-2x=y
2=y/x

löse ich immer zu der Seite von weg auf, auf der x steht? (umgangssprachlich formuliert)

Ähm, ja und nein.

Bjoern schrieb:

hi,

vielen dank, nur zur sicherheit:

also forme ich

0=2dx+dy

um in

2dx=-dy

und daraus folgt

dy/dx=2

Zum Vergrößern anklicken....

Totales diffenenzieren heißt, mathematisch nicht ganz richtig vereinfacht, differenzieren nach allen Variablen und je multiplizieren mit der Änderungsgröße.

Also das totale Differential von dF(x) ist F_x * dx.

In Deiner Gleichung oben B=2x + y muß man nach B x und y ableiten.

B nach B abgeleitet ist 1, daher wird das B zu [tex] 1* \partial B [/tex]
2x nach x abgeleitet ist 2, daher wird das 2x zu [tex] 2* \partial x [/tex]
y nach y abgeleitet ist 1, daher wird das B zu [tex] 1* \partial y [/tex]

zusammen also [tex] \partial B = 2 \partial x + \partial y [/tex]

gefragt ist aber wohl [tex] \frac {\partial x} {\partial y} [/tex], also wie verändert sich y bei einer Veränderung von x und konstantem B.

konstantes B bedeutet aber, daß die erste Ableitung nach B 0 ist, also [tex] \partial B = 0 [/tex]

Dadurch vereinfacht sich die Gleichung auf:
[tex] \0 = 2 \partial x + \partial y [/tex]

nun muß man nur noch umstellen:
[tex] 0 =2 \partial x + \partial y [/tex] | [tex] - \partial y [/tex]
[tex] -\partial y =2 \partial x [/tex] | [tex] : - \partial x [/tex]
[tex] \frac {\partial y} {\partial x} =-2 [/tex]

Du hast in der letzen Umformung einen Vorzeichenfehler, aber ansonsten rechnet man auch dX usw so wie üblich. Bzw es kommt bei dem VZ darauf an, welches Fach man macht, eigenglich ist die Steigung negativ, manchmal wollen sie die GRS aber lieber positiv.

Bjoern schrieb:

????

und in Zahlen

0=2x+y
-2x=y
2=y/x

löse ich immer zu der Seite von weg auf, auf der x steht? (umgangssprachlich formuliert)

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Wie in Zahlen?
[tex] \partial x [\tex] ist ungleich x, das kannst Du nicht einfach umstellen.
Und wie von der Seite weg umstellen?

Gefragt ist die 1. Ableitung von y nach x = [tex] \frac {\partial y} {\partial x} [/tex], das geht entweder über das totale Differtial und umstellen, so das man auf der einen Seite eben [tex] \frac {\partial y} {\partial x} [/tex] stehen hat.

Oder man leitet B je nach x und y ab und teilt:
B=2x+Y

[tex] B_x = 2 = \frac {\partial B} {\partial x} [/tex]
[tex] B_y = 1 = \frac {\partial B} {\partial y} [/tex]

[tex] \frac {B_x} {B_y} = ( { \frac {\partial B} {\partial x} / \frac {\partial B} {\partial y} = \frac {\partial y} {\partial x}= 2 [/tex]

diesmal gibt es auch +2, daher muß man da etwas mitdenken

Oder Du stellst um und leitest ganz normal nach x ab:

B=2x+y
y=B-2x
[tex] \frac {\partial y} {\partial x} = -2 [/tex]

Super. Vielen Dank. Hilft.