Makro II KE 2 Kapitel 1 Aufgabe 4 b)
A. Totales Differenzial
(1) dY = C[Y] * dY + I * di + dG + NX[Y] * dY + NX[q] * dq
(2) 0 = P * L[Y] * dY + P * L * di
(3) P * NX[Y] * dY + P * NX[q] * dq = 0
(4) dq = Pa/P * de
B. Gleichung (4) durch Einsetzen von dq = Pa/P * de in Gleichung (1) und (3) eliminieren
(1) dY = C[Y] * dY + I * di + dG + NX[Y] * dY + NX[q] * Pa/P * de
(2) 0 = P * L[Y] * dY + P * L * di
(3) P * NX[Y] * dY + P * NX[q] * Pa/P * de = 0
C. Gleichungen umstellen für die Matrixschreibweise
(1) (C[Y] + NX[Y] - 1) * dY + I * di + NX[q] * Pa/P * de = -dG
(2) P * L[Y] * dY + P * L * di = 0
(3) P * NX[Y] * dY + NX[q] * Pa * de = 0
D. Matrixschreibweise A * x = z
A =
(C[Y] + NX[Y] - 1)...+ I ...........+ NX[q] * Pa/P
P * L[Y].............+ P * L .......+ 0
P * NX[Y]............+ 0 ..............+ NX[q] * Pa
x = (dY, di, de)
z = (-dG, 0, 0)
E. Determinanten (Mit Sarrus-Regel)
det(A)
= (C[Y] + NX[Y] - 1) * P * L * NX[q] * Pa - P * NX[Y] * P * L * NX[q] * Pa/P - NX[q] * Pa * P * L[Y] * I
= P * Pa * L * NX[q] * (C[Y] + NX[Y] - 1 - NX[Y] - L[Y] * I / L)
= P * Pa * L * NX[q] * (C[Y] - 1 - I)
det(de)
= P * NX[Y] * P * L * dG
= P^2 * NX[Y] * L * dG
F. Lösung für de
de
= det(de) / det(A)
= P^2 * NX[Y] * L * dG / (P * Pa * L * NX[q] * (C[Y] - L[Y] * I / L)
= P * NX[Y] * dG / (Pa * NX[q] * (C[Y] - 1 - I)
G. Multiplikator de/dG
de/dG = P * NX[Y] / (Pa * NX[q] * (C[Y] - 1 - L[Y] * I / L)
Falls P = Pa (wie in der Lösung angenommen):
de/dG
= NX[Y] / (NX[q] * (C[Y] - 1 - L[Y] * I / L)
= -NX[Y] / (NX[q] * (1 - C[Y] + L[Y] * I / L)
Liebe Grüße
