Total differenzieren

zum Differenzieren von Total-Modellen:
Warum nimmt man beim Differenzieren die Variable mit und wann nicht?
z.B. wird die Gleichung S(Y-T) = I (i) + G - T (T ist eine exogene Größe) total differenziert zu
S(Y-T) * dY = Ii * di (hier wird also das Ii mitgenommen!
Wenn ich aber folgende Gleichung total differenziere:
W = P * Yn (N,K) (W und K sind exogene Größen)
Dann sieht das Differenzial so aus: 0 = P *Ynn * dN + Yn * dP
Warum heißt es hier nicht: 0 = P *Ynn * dN + Yn * P* dP ???

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! Ich bin gerade echt am Verzweifeln mit den Berechnungen! 🙁

total differential einer funktion des Typ f(xy) = f'x*dx + f'y*dy und des Typs diff(x*f(y)) = x*f'y*dy + f(y)*dx. Falls eine Variable konstant sein soll, dann deren Änderung (= d of a const) = 0. Beim G und T handelt es sich meistens um konstanten bzw. exogenen Variablen. Deshalb werden deren d null gesetzt.

Hoffe hilft

BG

Badenerin schrieb:

Hallo, ich habe eine Frage zum Differenzieren von Total-Modellen:
Warum nimmt man beim Differenzieren die Variable mit und wann nicht?
z.B. wird die Gleichung S(Y-T) = I (i) + G - T (T ist eine exogene Größe) total differenziert zu
S(Y-T) * dY = Ii * di (hier wird also das Ii mitgenommen!
Wenn ich aber folgende Gleichung total differenziere:
W = P * Yn (N,K) (W und K sind exogene Größen)
Dann sieht das Differenzial so aus: 0 = P *Ynn * dN + Yn * dP
Warum heißt es hier nicht: 0 = P *Ynn * dN + Yn * P* dP ???

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! Ich bin gerade echt am Verzweifeln mit den Berechnungen! 🙁

Zum Vergrößern anklicken....

Hallo Badenerin!

Wichtig beim Bilden des totalen Differentials ist erst mal klarzustellen was die Variablen sind, bezüglich derer man das totale Differential bildet. (Das ist in unserem Skript immer etwas verwirrend, da die selben Größen - je nach Zusammenhang oder Annahme, die gerade gemacht wird - entweder Variablen, Funktionen von anderen Variablen, oder Konstanten (also "exogene Größen") sein können.) Wie von GondiiBoy schon richtig gesagt, ist das totale Differential der Funktion f(x,y) (d.h., x und y sind die Variablen) definiert als f_x dx + f_y dy. (Hier bezeichnet f_y, wie im Skript, die (partielle) Ableitung der Funktion f(x,y) nach der Variablen y).
Bei deinem ersten Beispiel sind die Variablen i und Y, G und T sind exogene Größen und S(Y-T) und I(i) sind Funktionen.
Das totale Differential ergibt sich also zu
S_Y(Y-T) dY = I_i di.
Die linke Seite hängt nicht von i ab, deshalb wird hier nur nach Y abgeleitet, umgekehrt für die rechte Seite.
Bei deinem zweiten Beispiel sind P und Y die Variablen, W und K sind exogene Größen und Y_N(N,K) ist eine Funktion. (Die (partielle) Ableitung der Funktion Y(N,K) nach N.)
Hier ergibt sich das totale Differential also zu
0=P Y_NN(N,K) dY + Y_N(N,K) dP.
Die linke Seite hängt von keiner der Variablen ab, also ist das totale Differential 0, die rechte Seite hängt von beiden Variablen ab, deshalb bekommt man zwei Terme. Der erste ergibt sich durch Ableitung von P Y_N(N,K) nach N (multipliziert mit dN) und der zweite durch Ableitung von P Y_N(N,K) nach P (multipliziert mit dP). Die Ableitung von P nach P ist 1, deshalb kommt in dem rechten Term kein P mehr vor.