zu den drei Aussagen:
- Die Nullstellen des Zählers ist der Definitionsbereich (huch)
- wenn Nullstellen im Zähler u Nenner übereinstimmen ist das eine behebbare Definitionslücke (bis hier ok) (also keine Nullstelle) (nein)
- nur Polstellen sind echte Nulstellen (nein)
Der Definitionsbereich ist grundsätzlich Definitionssache. Wenn man anfangs sagt, dass die Funktion nur für die Zahlen [3;5] definiert sein soll, dann sind es eben auch genau die Zahlen zwischen 3 und 5. Bei den rationalen Funktionen fragt man sich aber häufig nach dem maximalem Definitionsbereich. Dann heißt die Frage also: Welche Zahlen können eingesetzt werden, so dass die Funktion "Sinn ergibt" / ausgerechnet werden kann?
Naja, dabei ist hier wichtig, dass man nicht durch 0 teilt. Deshalb ist der maximale Definitionsbereich einer rationalen Funktion R ohne die Nullstellen des Nenners.
Nun zur Hebbarkeit:
Es ist richtig, dass, wenn Zähler und Nenner eine gleiche Nullstelle haben, man den Linearfaktor ausklammern und rauskürzen kann. Dadurch hat sich der Definitionsbereich aber nicht geändert, denn in der ursprünglich angebenen Funktion kann die Zahl weiterhin nicht eingesetzt werden. Man kann aber eine neue Funktion definieren (die dann den vereinfachten Bruch als Funktionsterm hat), die einen größeren Definitionsbereich hätte (Hebbarkeit).
Für alle Nennernullstellen, die nicht gekürzt werden können, ergeben sich Polstellen. Solche Nullstellen heißen nicht hebbar.
Die Nullstellen des Zählers sind die Nullstellen der rationalen Funktion, sofern sie nicht hebbar sind, also sich mit den Nullstellen des Nenners kürzen.
Definieren wir mal die Funktion f von R\{3,5, 7} nach R mit f(x) = ((x - 3)(x -1)) / ((x - 3)(x-7)). Das ist eine rationale Funktion (wenn man die Klammern ausrechnet hat man Polynome im Zähler und im Nenner). 3 ist eine hebbare Nullstelle (kann den Linearfaktor (x-3) rauskürzen). 1 ist eine Nullstelle von f (sie ist nur Nullstelle des Zählers). 7 ist eine Polstelle (sie ist nur Nullstelle des Nenners). 5 ist einfach aus dem Definitionsbereich rausgenommen worden, obwohl man 5 eigentlich ohne Probleme einsetzen und ausrechnen kann, aber wie gesagt, das ist Definitionssache.
Hoffe das bringt Licht
Schöne Grüße
Happy Sebpo
