Rang einer Matrix/Abkürzung?

sagax · 17 März 2006

sitze gerade über dem Thema RgA.
Der Rang gibt ja die Anzahl der unabhängigen Vektoren innerhalb einer Matrix an!

Wenn mir das Treppensystem etwas umständlich ist, dann kann ich doch auch von den einzelnen Vektoren kurz die Skalarprodukten berechnen, oder nicht?

Richtig oder liege ich da falsch?

Grüße

der S.

Klara · 17 März 2006

Welche Eigenschaft sollen die Skalarprodukte haben?

Ich glaube, das geht nicht, aber um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, müsste ich wissen, wie Du anhand der Skalarprodukte den Rang einer Matrix 'rausfinden willst.

Grüße
Klara

Grüße
Klara

sisa · 17 März 2006

Wenn das Skalarpropdukt = 0 ist, dann stehen die Vektoren senkrecht aufeinander (sind orthogonal) und sind auf jeden Fall linear unabhängig.

Das heißt aber nicht, daß alle l.u. Vektoren orthogonal sind. Dieses Verfahren ist für die Bestimmung des Ranges nur bedingt zu gebrauchen.

Am einfachsten kannst Du prüfen, ob die Matrix vollen Rang hat. Dazu berechnest Du die Determinante, wenn die ungleich 0 ist, hat die Matrix vollen Rang. Wenn Du den genauen Rang angeben mußt, ist es wirklich am einfachsten, mit Gauß den Rang zu berechnen. Geht am schnellsten, find ich.

sagax · 17 März 2006

Wenn das Skalarprodukt zweier Verktoren gleich Null ist, dann stehen sie orthogonal aufeinander (senkrecht). Wenn das der Fall ist, dann können sie nicht linear abhängig voneinander sein, weil sie sich dann nicht als Linearkombination voneinander darstellen lassen.

Ziel, ich habe bei der "Treppengeschichte" gemerkt dass ich mich bei knapper Zeit ab und zu mal verdaddel und Skalar ist da stabiler.

Noch jemand ne Idee

Gruß

der S.

sagax · 17 März 2006

Sisa,

danke, genau das wollte ich wissen!!😀
Schließlich ist ja nicht vorgeschrieben wie ich die Aufgabe lösen soll und die Zeitgeschichte ist bei 20 Aufgaben ja immer so ne Sache..!

Grüße

der S.

sisa · 17 März 2006

sagax schrieb:
Hi Sisa,

danke, genau das wollte ich wissen!!😀
Schließlich ist ja nicht vorgeschrieben wie ich die Aufgabe lösen soll und die Zeitgeschichte ist bei 20 Aufgaben ja immer so ne Sache..!

Grüße

der S.

Genau ! Die wollen nur ein Ergebnis haben, wie auch immer das zustande kam.
Gauß ist nur eine Übungssache, ich hatte mich am Anfang auch ständig verrechnet. Inzwischen kann ich es aus dem Effeff. Man braucht ihn ja auch für viele Dinge, z.B. um die Inverse einer Matrix zu bestimmen. Ich finde es sinnvoll, sich damit zu befassen und vielleicht braucht man das ja noch später im Studium, dann hat man es nicht nur für die Mathe-Klausur gelernt.

sagax · 17 März 2006

Na vor allem ist Gaus etwas "benutzerfreundlicher" als die Pivot-Geschichte! Das ist ja in einer Klausur ein einziges Minenfeld!

Ich glaube dabei würde ich bei den Zeitbeschränkungen in der Klausur abdrehen😕 !

Grüße und Daumen gedrückt für die Klausuren!

S.

Klara · 17 März 2006

sagax schrieb:
Wenn das Skalarprodukt zweier Verktoren gleich Null ist, dann stehen sie orthogonal aufeinander (senkrecht). Wenn das der Fall ist, dann können sie nicht linear abhängig voneinander sein, weil sie sich dann nicht als Linearkombination voneinander darstellen lassen.

Ja, das stimmt: wenn das paarweise Skalarprodukt aller Vektoren 0 ist, hat die Matrix maximalen Rang. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Wenn die Matrix maximalen Rang hat, sind alle Skalarprodukte 0. Aber ich glaube, das hast Du auch nicht gemeint. 😱

Klara

Klara · 17 März 2006

sagax schrieb:
Wenn das Skalarprodukt zweier Verktoren gleich Null ist, dann stehen sie orthogonal aufeinander (senkrecht). Wenn das der Fall ist, dann können sie nicht linear abhängig voneinander sein, weil sie sich dann nicht als Linearkombination voneinander darstellen lassen.

Ja, das stimmt: wenn das paarweise Skalarprodukt aller Vektoren 0 ist, hat die Matrix maximalen Rang. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Wenn die Matrix maximalen Rang hat, sind alle Skalarprodukte 0. Aber ich glaube, das hast Du auch nicht gemeint. 😱

Klara

sagax · 17 März 2006

Klara,

richtig! Für mich war nur die eine Richtung wichtig!
Weil in der Klausur gilt: quick and correct! Da kann man auch ne sichere Abkürzung benutzen🙂 !

Das mit der Punktabzugsregel in den Multiple Choice Klausuren kann einen eh schón unötig Punkte Kosten, da sollte man beim Rest schon auf Nummer sicher gehen!

Grüße und noch viel Spaß beim Lernen!

S.

Klara · 17 März 2006

sagax schrieb:
richtig! Für mich war nur die eine Richtung wichtig!
Weil in der Klausur gilt: quick and correct! Da kann man auch ne sichere Abkürzung benutzen🙂 !

Ich befürchte nur, dass die Wahrscheinlichkeit eine Orthogonal-Matrix vorgelegt zu bekommen, recht gering ist. 🙁

sagax schrieb:
Grüße und noch viel Spaß beim Lernen!

Dieses Semester ist ABWL dran, und das war schon. 🙂 Und Mathe muss ich sowie so nicht machen. 😛

Klara

TruPlaya · 17 März 2006

bei einer 3x3-Matrix:
Rang 1 sieht man sofort. Dann sind alle Zeilen vielfache der anderen. z.B. Zeile 1: 112, Zeile 2: 224 Zeile 3: -3-3-6 oder so...
Rang 3 heißt, dass die Determinante nicht 0 ist.
Wenn nicht Rang 1 oder 3 gilt, dann muss der Rang halt 2 sein.

tru

sisa · 18 März 2006

Klara schrieb:
Ich befürchte nur, dass die Wahrscheinlichkeit eine Orthogonal-Matrix vorgelegt zu bekommen, recht gering ist. 🙁

Was die Afgabenstellung betrifft, sind sie recht erfinderisch. Sie haben schon gefragt, ob 3 Vektoren z.B. linear unabhängig sind, ob sie eine Orthogonalbasis oder eine Orthonormalbasis bilden. Für solche Geschichten sollte man dann schon wissen, was gemeint ist und wie es überprüft werden kann.

Rang einer Matrix/Abkürzung?

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