Public Choice S. 33

vllt. gibt es ja jemanden hier, der das besser nachvollziehen kann als ich.
Auf S. 33 wird ja Formel 4 abgeleitet mit der Kettenregel. Leider stehe ich da grade etwas auf dem Schlauch und komme nicht auf die dortigen Ableitungen. Kann mir da eventuell jemand weiterhelfen?

Habe leider das Heft noch nicht, danach gerne

Habe das Studienmaterial für Public Choice ebenfalls noch nicht erhalten

Wenn man den Index i mal unterschlägt dann lautet (4):
V(z) = U(y-pz,z) = U(x(z),z)

Die Ableitung ergibt dann:

dV/dz = dU(x(z),z)/dx * dx(z)/dz + dU(x(z),z)/dz

mit dx(z)/dz = -p folgt:

dV/dz = dU(x(z),z)/dx*(-p)+ dU(x(z),z)/dz
also
dV/dz = dU(x(z),z)/dz - p * dU(x(z),z)/dx

in der Notation der KE: Vz = Uz - p * Ux

Für die zweite Ableitung bleibe ich bei dieser Notation

Vzz = Uzx * (-p) + Uzz - p * ( Uxx * (-p) + Uxz) = - p * Uzx + Uzz + p * p * Uxx - p * Uxz

Also Vzz = p*p* Uxx + Uzz - 2 * p * Uxz

Gruß
Joachim

Joachim,

vielen Dank für die ausführliche Antwort. Bei mir ist leider das Ableiten schon eine Weile her und ich kann, ehrlich gesagt, nicht ganz nachvollziehen, wie du auf Vzz kommst.

Ich hätte eigentlich gesagt: Vzz=Uzz+p*Uxz
Das entspricht zwar dem ersten Teil deiner Gleichung, aber woher kommt der Rest? Habe ich hier eine Regel außer Acht gelassen?

Gruß
Ronja

Ronja,

Uz ist die partielle Ableitung von U(x(z),z) nach z. Wenn man das nochmal nach z ableitet, so muss man auch hier wieder die Summe der partiellen Ableitungen nach beiden Argumenten von U bilden und im ersten Term zusätzlich die Kettenregel beachten.

Die Ableitung von Uz(x(z),z) nach z ist also Uzx mal innere Ableitung (hier -p) + Uzz.

Dasselbe gilt analog für Ux.

Gruß
Joachim

Habs mal ausführlich aufgeschrieben. Man muss sich bei der Ableiterei immer klar machen, dass auch die partiellen Ableitungen nach einer Variablen weiterhin Funktionen von beiden sind.

Dank an Achim und Birdy!
Jetzt hab ich's auch kapiert. Der Knackpunkt war, dass x(z) = y-pz und NICHT x=y-pz ist.