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Probleme mit Differential- und Differenzengleichung und Homogenitätsgrad

StefanieR

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Probleme mit Differential- und Differenzengleichung und Homogenitätsgrad

Hallo zusammen!

Diese Aufgabentypen werden ja immer abgefragt.
Hier habe ich so meine Problemchen.

z.B.

Klausur 23.09.2008
Aufgabe 10, Differentialgleichung
1. Schritt - Trennung der Variablen - ok
2. Schritt - Integration auf beiden Seiten
Frage: Wie komme ich von 1/3y^2 auf 1/3y??
😕
​
3. Schritt - nach y auflösen - ok

Klausur 23.09.2008
Aufgabe 11, Differenzengleichung

  • die Umformung ist mir nicht klar und auch die Schritte mit dem Einsetzen von a und b kann ich nicht nachvollziehen. Ich weiß eigentlich noch nicht mal, wozu diese Aufgaben gut sind bzw. wo man das anwenden würde. Gibt es für diesen Aufgabentyp eine Anleitung oder sonstige Tipps?
Klausur 23.09.2009
Aufgabe 16, Homogenitätsgrad

  • Ich schreibe vor jede Konstante ein Lambda und klammere es danach wieder aus. Die Vorgehensweise ist mir klar. Aber zum richtigen Ergebnis komme ich nie. 😕

Wer kann helfen?
 
Die Lamdas alle zusammenfassen also wenn da zb. steht lamda hoch 2 und lamda hoch 3 dann fasst du das zusammen, ergibt lamda hoch 5 und diese fünf ist der homogenitätsgrad.

aber ich hoffe es gibt hier jemanden der das besser erklären kann 😛 bin darin ne niete
 
Stefanie,

Klausur 23.09.2008

zu Aufgabe 10:

1/3y^2 => 1/3 ist als Konstante zu betrachten, also steht da:
1/3 x 1/y^2.
1/y^2 wandelst du um in y^-2. Integriert ergibt das dann -y^-1.
Umformen in -1/y. Jetzt wird das Ergebnis mit der Konstante zusammengesetzt und du erhältst: -1/3y.

Aufgabe 11 kommt gleich auch noch!
 
zu Aufgabe 11:

Den Sinn und Zweck dieser Aufgabe kann ich dir auch nicht erklären, aber den Rechenweg:

Als erstes musst du die Formel in die Form Δyk + ayk = b bringen, das steht auch in dem Hinweis. Dann steht da: yk+1 - 4yk = 2 è yk+1 –yk – 3yk = 2 è Δyk – 3yk = 2

Damit ist a=-3 und b=2.

Dann setzt du einfach alles in die 2. Formel ein, die auch im Hinweis steht.

Grüße, Juli125
 
Stefanie,

die Aufgaben mit dem Homogentitätsgrad sind geschenkte Punkte.
Hier musst Du, wie schon oben von Jane beschrieben vor jeder Unbekannten ein Lamda setzen (natürlich mit der entsprechenden Hochzahlt) und dann ausklammern.
z.B. x^2 + x*y => Homogenitätsgrad gleich 2, weil lamda^2 * x^2 + lamda * x * lamda * y = lamda^2 (x^2 + x*y). Natürlich solltest Du hier die Potenzregeln können.
Bei x^4 / x + y ist der Homogenitätsgrad 3, weil lamda^4 / lamda (4-1 = 3).
Kannst Du nicht alles ausklammern, gibt es keinen Homogenitätsgrad
 
Also noch mal in allen Schritten:

Ausgangsgleichung: x²+xy
--> λx²+λx*λy
--> λ²x²+λx*λy
--> λ²(x²+x*y)
Weil λ als Hochzahl 2 hat, ist der Homogenitätsgrad =2 ???

Ok, vielen Dank, Shila. Das ist einleuchtend, aber sobald die Gleichungen schwieriger werden oder Brüche haben, kann ich's wieder nicht.
 
√λxλy + λz + λ³x³/λyλz = √λ²xy + λz + λ³x³/λ²yz = λ√xy + λz + λx³/yz (weil hoch 3 - hoch 2 = hoch 1) hier kannst Du also ingesamt 1 lamba ausklammern => Homogenitätsgrad gleich 1
Ich habe es jetzt extra mal haarklein ausgerechnet.
 
Stefanie,

da hast du im Zähler ja hoch 3 und im Nenner hoch 2. Das meinte Shila mit dem hoch 3 - hoch 2 = hoch 1. Deswegen bleibt dann hoch 1 übrig.

LG Susanne
 
Oh man.. Irgendwie ist mir das zu hoch. Vielleicht fehlen mir irgendwelche Grundlagen!? Rechnen mit Wurzeln und Potenzen??

Wie wäre das bei dieser:
x³√y/x²+y²

λ³x³√λy/λ²x²+λ²y²
Kann man jetzt das y irgendwie rauskürzen und es bleibt x³/x² = 1?
 
λ³x³√λy/λ²x²+λ²y²
das ist schonmal richtig,
erster Teil:
λ³x³√λy/λ²x²
dann rechnest Du hoch 3 + hoch 0,5 (Wurzel heißt ja hoch 0,5), dann kommst Du auf hoch 3,5 / hoch 2 = 3,5 - 2 = 1,5
zweiter Teil:
λ²y² = 2
1,5 und 2 kann man nicht zusammenfassen, also gibt es hier keinen Homogenitätsgrad

Du musst Dir einfach nur die folgenden Potenzregeln merken:
zx * zy = zx+y
zx / zy = zx-y
zx * ax = (z+a)x
zx / ax = (z-a)x
 
Was das ganze noch vereinfacht ist, wenn du nicht mit lamda rechnest, sondern einfach alle variablen x setzt und zusammenziehst, also zum Beispiel so:

Homogenitätsgrad von:
√(xy) + z + x³/yz

statt y und z schreibst du jetzt einfach x

x^1/2*x^1/2 + x + x³/x²=

x^1 + x^1 + x^1

Wie du siehst steht überall x^1, der homogenitätsgrad ist also 1! Klappt immer, probiers ruhig mal bei anderen Aufgaben aus
 
Dr Franke Ghostwriter
Karin2009 schrieb:
was das ganze noch vereinfacht ist, wenn du nicht mit lamda rechnest, sondern einfach alle variablen x setzt und zusammenziehst, also zum Beispiel so:

Homogenitätsgrad von:
√(xy) + z + x³/yz

statt y und z schreibst du jetzt einfach x

x^1/2*x^1/2 + x + x³/x²=

x^1 + x^1 + x^1

Wie du siehst steht überall x^1, der homogenitätsgrad ist also 1! Klappt immer, probiers ruhig mal bei anderen Aufgaben aus 🙂
Zum Vergrößern anklicken....

So mache ich das in der Regel auch und meistens erkennt man schon auf den ersten Blick, welchen Homogenitätsgrad die Funktion hat. Aber erstmal muss man ja verstehen, woher das ganz kommt
 

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