Preiselastizität λx p oder λp x

Preiselastizität λx,p oder λp,x

Hallo!

p = a-bx
=> dx/dp = -1/b
λ = p/x*dx/dp

Die Frage:
Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für die gegebene Preisabsatzfunktion?

Welch Lösung für λ ist gemeint?
Lösung 1:
Die Funktion p wir eingesetzt
λp,x = -1/b * (a-bx)/x

Lösung 2:
Die Funktion p wird nach x umgewandelt und x eingesetzt.
x= 1/bx(a-p)

=> λx,p = -(p/p-a)

Welche Lösung ist gefragt?
Richtig müssten ja beide sein.

Danke!

Alex

Alex,

der Elastizitätsbegriff ist ja ein ganz allgemeiner: Die Y-Elastizität von X gibt an, wie Y auf eine marginale Änderung von X reagiert.

Die Preiselastizität der Nachfrage gibt also an, wie die Nachfrage reagiert, wenn sich der Preis marginal ändert, hier geht also der Preis als unabhängige Variable ein:

Preiselastizität der Nachfrage ePreis(p) = p / (p -a)

Wenn die Nachfrage die unabhängige Variable ist und die Reaktion des Preises auf eine marginale Nachfrageänderung gefragt ist, spricht man von der Nachfrageelastizität des Preises:

Nachfrageelastizität des Preises eNachfrage(x) = 1 - a / (b * x)

Es gibt natürlich einen Zusammenhang zwischen beiden Elastizitäten, trotzdem sind es zwei verschiedene Elastizitäten, die auseinandergehalten werden wollen. Der Zusammenhang wird deutlich, wenn in ePreis(p) die Preisabsatzfunktion für p eingesetzt wird, dann erhält man nämlich eNachfrage(x). Das liegt daran, dass die Preisabsatzfunktion Preis und Nachfrage in einen Zusammenhang stellt:

ePreis(p(x))
= p(x) / (p(x) - a)
= (a - b * x) / ((a - b * x) - a)
= (a - b * x) / (- b * x)
= (a/-b * x) - (b * x / (-b * x))
= 1 - a / (b * x)
= eNachfrage(x)

Analog gilt für die Umkehrfunktion x(p) = a/b - p/b (Nachfragefunktion) der Preisabsatzfunktion p(x) = a - b * x:

eNachfrage(x(p))
= 1 - a / (b * x(p))
= 1 - a / (b * (a/b - p/b))
= 1 - a / (a - p)
= ((a - p) - a) / (a - p)
= p / (p - a)
= ePreis(p)

Liebe Grüße

super dass das Thema nochmal aufgekommen ist... 🙂 Bin da auch gerade dran.
Ich verstehe hier nur den Weg nicht, wie man auf die Preiselastizität der Nachfrage im Umsatzmaximum kommt. Vielleicht kann man mir das nochmal Schritt für Schritt erklären, denn ich kann machen was ich will, ich versteh`s nicht...
Hier wieder das Beispiel der Preispolitik:
p(x)=a-b*x
K(x)=Kf+kv*x
Vor dieser Aufgabe wird zunächst die Preiselastizität der Nachfrage für die gegebene Preisabsatzfunktion abgefragt. Dies wäre ja folgende Lösung:

nx,p= p*(-1/b)*1/(1/b)*(a-p)= -p/(a-p) = p/(p-a)

Und wie komme ich jetzt von da auf das Umsatzmaximum?

Dankeschön.

embi schrieb:

Hi,
super dass das Thema nochmal aufgekommen ist... 🙂 Bin da auch gerade dran.
Ich verstehe hier nur den Weg nicht, wie man auf die Preiselastizität der Nachfrage im Umsatzmaximum kommt. Vielleicht kann man mir das nochmal Schritt für Schritt erklären, denn ich kann machen was ich will, ich versteh`s nicht...
Hier wieder das Beispiel der Preispolitik:
p(x)=a-b*x
K(x)=Kf+kv*x
Vor dieser Aufgabe wird zunächst die Preiselastizität der Nachfrage für die gegebene Preisabsatzfunktion abgefragt. Dies wäre ja folgende Lösung:

nx,p= p*(-1/b)*1/(1/b)*(a-p)= -p/(a-p) = p/(p-a)

Und wie komme ich jetzt von da auf das Umsatzmaximum?

Dankeschön.

Zum Vergrößern anklicken....

Du könntest z.B. zunächst die umsatzmaximale Menge xumax und den zugehörigen Preis pumax berechnen und dazu dann mit der obigen Formel die Preiselastizität der Nachfrage für den umsatzmaximalen Preis ePreis(pumax) = pumax / (pumax - a) ausrechnen.

Umsatz:

U(x)
= p(x) * x
= (a - b * x) * x
= a * x - b * x^2

Umsatzmaximierung:

U'(x) = a - 2 * b * x = 0 falls x = xumax = a / (2 * b)

Umsatzmaximaler Preis pumax:

pumax
= p(xumax)
= a - b * xumax
= a - b * a / (2 * b) = a/2

Jetzt Preiseleastizität der Nachfrage im Umsatzmaximum:

ePreis(pumax)
= pumax / (pumax - a)
= (a/2) / (a/2 - a)
= (a/2) / (-a/2)
= -1

Liebe Grüße

dankeschön, nur wieso muss ich hier für die Elastizität im Umsatzmax. pmax - a rechnen? Wieso -a ???

ePreis(pumax)
= pumax / (pumax - a)
= (a/2) / (a/2 - a)
= (a/2) / (-a/2)
= -1

Die Preiselastizität der Nachfrage ist für ein beliebiges p:

ePreis(p) = p / (p - a)

daher kommt das - a

für p = pumax = a/2 gilt dann:

ePreis(pumax)
= pumax / (pumax - a)
= (a/2) / (a/2 -a)
= -1

Liebe Grüße

Ja, hab ich grad auch gesehen, als ich meine Unterlagen gezückt habe... dankeschön

Jetzt habe ich aber nochmals eine (vielleicht) dumme Frage zu den Preiselastizitäten, bzw. zu der Eklärung der Preiselastizität:

nx,p = -1
Der Umsatz ändert sich nicht, wenn dem marginalen relativen Preisanstieg ein gleich hoher marginal relativer Mengenrückgang gegenübersteht.
Die Nachfrage im Umsatzmaximum ist eins-elastisch

nx,p > -1
Die Nachfrage im Umsatzmaximum ist unelastisch. Der Umsatz steigt bei einer Preiserhöhung, im Vergleich zum Preisanstieg geht die Nachfrage nur im geringen Umfang zurück.

nx,p < -1
Die Nachfrage im Umsatzmaximum ist elastisch. Der Mengenrückgang fällt stärker als der Preisanstieg aus.

Sind die Erklärungen so richtig?

Also die Nachfrage im Umsatzmaximum ist immer -1, oder? Und ob der Umsatz bei einer Preiserhöhung steigt, muss sich dieser im unelastischen Bereich >-1 befinden?
Und die Nachfrage im Gewinnmaximum ist elastisch <-1 ?

Gruß Melanie

embi schrieb:

nx,p > -1
Die Nachfrage im Umsatzmaximum ist unelastisch. Der Umsatz steigt bei einer Preiserhöhung, im Vergleich zum Preisanstieg geht die Nachfrage nur im geringen Umfang zurück.

nx,p < -1
Die Nachfrage im Umsatzmaximum ist elastisch. Der Mengenrückgang fällt stärker als der Preisanstieg aus.

Zum Vergrößern anklicken....

Wieso im Umsatzmaximum? Da ist die Preiselastizität der Nachfrage immer -1 und nie < -1 oder > -1.

Allgemein gilt:

Wenn im Punkt (p, x = x(p)) gilt nx,p > -1, dann wird die Preiselastizität der Nachfrage in diesem Punkt als unelastisch bezeichnet, weil die Nachfrage dort relativ schwächer (unterproportional) sinkt im Vergleich zur marginalen Preissteigerung. Wenn also der Preis p bei unelastischer Nachfrage marginal steigt, dann erhöht sich der Umsatz (p * x), weil die Nachfrage x in einem geringeren Masse sinkt (als der Preis steigt).

Wenn im Punkt (p, x = x(p)) gilt nx,p < -1, dann wird die Preiselastizität der Nachfrage in diesem Punkt als elastisch bezeichnet, weil die Nachfrage dort relativ stärker (überproportional) sinkt im Vergleich zur marginalen Preissteigerung. Wenn also der Preis p bei elastischer Nachfrage marginal steigt, dann verringert sich der Umsatz (p * x), weil die Nachfrage x in einem stärkerem Masse sinkt (als der Preis steigt).

Wenn im Punkt (p, x = x(p)) gilt nx,p = -1, dann wird die Preiselastizität der Nachfrage in diesem Punkt als 1-elastisch bezeichnet, weil die Nachfrage relativ gleich stark (proportional) sinkt im Vergleich zur marginalen Preissteigerung. Wenn also der Preis p bei 1-elastischer Nachfrage marginal steigt, dann bleibt der Umsatz (p * x) unverändert, weil die Nachfrage x in einem gleichen Masse sinkt (wie der Preis steigt). Das ist im Umsatzmaximum der Fall.

In welchen Preis-Bereichen ist die Nachfrage nun unelastisch, 1-elastisch bzw. elastisch wenn die Preisabsatzfunktion p(x) = a - b * x lautet?

1-elastisch: ePreis(p) = p / (p - a) = -1 falls p = a - p falls p = a/2

Für p = a/2 ist die Preiselastizität der Nachfrage also 1-elastisch und p= a/2 ist ja auch der umsatzmaximale Preis, d.h. bei p = a/2 liegt das Umsatzmaximum.

unelastisch: ePreis(p) = p / (p - a) > -1 falls p < a - p falls p < a/2

Für p < a/2 ist die Preiselastizität der Nachfrage unelastisch, für p = 0 ändert sich die Nachfrage gar nicht mehr (Preiselastizität = 0).

elastisch: ePreis(p) = p / (p - a) < -1 falls p > a - p falls p > a/2

Für p > a/2 ist die Preiselastizität der Nachfrage elastisch, für p gegen a wird die Nachfrage 0 (p(a) = a - b * 0 = a) und die Preiselastizität der Nachfrage -unendlich, weil hier eine marginale Preisssteigerung zu einem Nachfragerückgang von x > 0 nach x = 0 (keine Nachfrage mehr) führt, also ein unendlich große relative Verringerung der Nachfrage.

Liebe Grüße

Ich habe hierzu nochmal eine kurze Frage, also im Umsatzmaximum ist die Elastizität eins-elastisch = - 1.

Also bei -1 bleibt der Umsatz unverändert, man befindet sich im Umsatzmaximum
Bei >-1 ist die Nachfrage unelastisch, der Umsatz steigt
Bei <-1 ist die Nachfrage elastisch, der Umsazz verringert sich

Im Gewinnmaximum ist diese dann elastisch <-1 ???

Brauche eure HILFE !!!

embi schrieb:

Im Gewinnmaximum ist diese dann elastisch <-1 ???

Zum Vergrößern anklicken....

Ja das stimmt, im Gewinnmaximum gilt für die Preiselastizität der Nachfrage ngmax stets: -oo < ngmax < -1

Warum ist das so?

Nun, im Gewinnmaximum (Cournotpunkt) gilt stets Grenzerlös = Grenzkosten. Für die Cournotmenge ist der Grenzerlös also stets positiv: E'(x) > 0

Wegen E(x) = p(x) * x ist der Grenzerlös (im Gewinnmaximum):

E'(x)[/COLOR] = p(x)' * x + p(x) = p * (1 + 1/ngmax)[/COLOR] ...// Amoroso-Robinson-Relation[/COLOR]

Also: E'(x) = p * (1 + 1/ngmax) > 0 ...// Grenzerlös E'(x) > 0

Also: 1 + 1/ngmax > 0

Also: 1 < -1/ngmax

Also: ngmax < -1

Merke: Die Angebotsmenge des Monopolisten befindet sich stets im elastischen Bereich der Preisabsatzfunktion.

Anmerkung: Wie aus der Herleitung zu erkennen ist, gilt nx,p < -1 nicht nur im Gewinnmaximum, sondern für alle Mengen für die der Grenzerlös positiv ist. Für das Umsatzmaximum gilt das nicht, dort ist der Grenzerlös auch nicht positiv sondern 0 und es gilt nx,p = -1

Liebe Grüße