Preiselastizität im Umsatzmaximum?

gegeben:
p(x)=42-5x
K(x)=20+2x

Berechnung:
p(x)*x=42x-5x²
p(x)x'= 42-10x

p'=-5
p =21
x = 4,2
x'?


= x'*p/p'*x

Ich weiß, dass das Ergebnis -1 ist und dass auch x' -1 ist.

Wie komme ich auf x'?
Brauche ich für diese Aufgabe überhaupt die Kostenfunktion?

x ist die Menge, bei der der Umsatz maximal ist:

U(x) = p(x) * x = 42 * x - 5 * x^2

U'(x) = 42 - 10 * x = 0 falls x = 4,2

U''(x) = -10 < 0 d.h. bei x = 4,2 ist ein (das einzige) Maximum

Der Umsatz ist also bei x = xumax = 4,2 maximal, für diese Menge ist der Preis p = pumax = p(4,2) = 42 - 5 * 4,2 = 21

Im Umsatzmaximum bei xumax = 4,2 und pumax = 21 ist die Preiselastizität eumax der Nachfrage nun:

eumax
= (dx/xumax) / (dp/pumax)
= (dx/dp) * pumax/xumax
= [1 / (dp/dx)] * pumax/xumax ...// (dp/dx) = p'(x) = -5
= -1/5 * 21/4,2
= -1 (wie erwartet)

Die Kostenfunktion spielt für den Umsatz und sein Maximum und damit für die Preiselastizität der Nachfrage im Umsatzmaximum keine Rolle.

Liebe Grüße

vielen Dank! Bis zur letzten Zeile verständlich.
Das dx ist mir immer noch ein Rätsel... ??

LG Stefanie

dx und dp ergeben zusammen dx/dp, d.h. die Änderung der Nachfrage x bei marginaler Erhöhung des Preises p (1. Ableitung der Nachfragefunktion).

Es gilt dx/dp = x'(p) = 1 / p'(x) = 1 / -5 = -1/5

Beachte:

p(x) = 42 - 5 * x

Also: dp/dx = p'(x) = -5

Oder auch:

p = 42 - 5 * x nach x umtellen ergibt x(p):

x = x(p) = 1/5 * (42 - p) = 8,4 - 1/5 * p

Also: x(p) = 8,4 - 1/5 * p und deshalb dx/dp = x'(p) = -1/5 = 1 / p'(x)

Liebe Grüße

Sorry, x'(p) kapiere ich gerade immer noch nicht...
Grüße nach Ketsch

p(x) ist die Preisabsatzfunktion, die jeder Menge x einen Preis p zuordnet : p(x) = 42 - 5 * x

x(p) ist die Nachfragefunktion, die jedem Preis p eine Menge x zuordnet: x(p) = 8,4 - 1/5 * p

p(x) und x(p) sind Umkehrfunktionen voneinander, d.h.

x(p) entsteht aus p(x) in dem p(x) nach x = ... umgestellt wird und

p(x) entsteht aus x(p) in dem x(p) nach p = ... umgestellt wird.

Beides seind Funktionen, p'(x) ist die erste Ableitung von p(x) und x'(p) ist die erste Ableitung von x(p).

Weil p(x) und x(p) Umkehrfunktionen voneinander sind gilt allgemein:

p'(x) = 1 / x'(p) bzw. x'(p) = 1 / p'(x)

oder anders geschrieben: dp/dx = 1 / (dx/dp) und dx/dp = 1 / (dp/dx).

p(x) = 42 - 5 * x ergibt p'(x) = -5

x(p) = 8,4 - 1/5 * p ergibt x'(p) = -1/5

Man erkennt: x'(p) = -1/5 = 1 / p'(x)

Liebe Grüße