NinaT,
dann versuche ich mal dir zu helfen.
Gegeben ist folgende Preisabsatzfunktion: p(x) = 60 - 0,25x
und folgende Kostenfunktion: K(x) = 100 + 6x
Um die Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum zu erhalten, benötigen wir zu aller erst das Gewinnmaximum. Mathematisch ist ein Maximum dann gegeben, wenn die erste Ableitung der entsprechenden Funktion genommen wird und Null gesetzt wird (es existiert auch eine zusätzliche notwendige Bedingung die normalerweise geprüft werden sollte, aber ich möchte dich nicht unnötig durcheinanderbringen und unterschlage diese Tatsache einfach).
Um das Gewinnmaximum zu bekommen, benötigen wir zuerst die Gewinnfunktion. Die Gewinnfunktion sieht folgendermaßen aus: G(x) = U(x) - K(x). In Worten ausgedrückt: Um den Gewinn G(x) zu erhalten, müssen wir den Umsatz U(x) mit den Kosten K(x) subtrahieren. Wenn ich also etwas für 10€ (U) verkaufe und ich 6€ (K) an Produktionskosten gehabt habe, dann ist mein Gewinn 4€ (G).
Der Umsatz U(x) besteht aus dem Preis für eine gefertigte Einheit p(x) multipliziert mit der Anzahl (x) der verkauften Einheiten. Also sieht die Umsatzfunktion folgendermaßen aus: U(x) = p(x) * x. Mit anderen Worten, wenn ich 5 Pullover (mein x) zum Preis von 10 € (mein p) verkaufe, dann ist mein Umsatz (U) = 50.
Die gesammelten Informationen nochmal zur Übersicht:
Gegeben:
p(x) = 60 - 0,25x (= Unsere Preisabsatzfunktion)
K(x) = 100 + 6x (= Unsere Kostenfunktion)
G(x) = U(x) - K(x) (= Unsere Gewinnfunktion)
U(x) = p(x) * x (= Unsere Umsatzfunktion)
Wenn wir unser U(x) mit p(x) * x ersetzen, denn es ist ja gleich (wegen dem Geichheitszeichen) dann sieht unser G(x) folgendermaßen aus:
G(x) = p(x) * x - K(x)
Wenn wir nun unser p(x) und unser K(x) aus der Aufgabe einsetzen, sieht das Ganze dann so aus: G(x) = (60 -0,25x) * x - (100 + 6x).
Wenn wir die ganzen Klammern auflösen, dann sieht es am Ende so aus:
G(x) = 60x - 0,25x^2 - 100 - 6x
Zusammengefaßt heißt das:
G(x) = 54x - 0,25x^2 - 100
Nun haben wir die Gewinnfunktion und können daraus das Maximum bestimmen, indem wir, wie oben bereits angesprochen, die Funktion G nach x ableiten:
Also wird aus:
G(x) = 54x - 0,25x^2 - 100
nach der Ableitung:
G'(x) = 54 - 0,5x
Um das Maximum zu bekommen müssen wir G'(x) = 0 setzen:
0 = 54 - 0,5x /+0,5x
0,5x = 54 / *2 (man hätte auch durch 0,5 dividieren können, damit x alleine steht).
x = 108
Damit haben wir die gewinnmaximale Menge x* = 108.
Wenn wir x* in unsere Preisabsatzfunktion einsetzen, erhalten wir unseren gewinnmaximalen Preis p*:
p(108) = 60 - 0,25 * 108
p* = 33.
Soweit sollte die erste Aufgabe verstanden sein.
Kommen wir nun zu der Zweiten, der Preiselastizität der Nachfrage im Gewinnmaximum.
Dafür nehmen wir die Formel, die bereits vorher genannt wurde:
Elastizität: e = dx/dp * p/x
dx/dp bedeutet das wird x nach p ableiten (wie oben mit G nach x). Also benötigen wir auf der einen Seite das x.
Dazu nehmen wir unsere Funktion:
p = 60 - 0,25x / +0,25x
p + 0,25x = 60 / -p
0,25x = 60 - p / *4 oder /0,25
x = 240 -4p
Nun muss diese umgeformte Preisabsatzfunktion nur noch nach p abgeleitet werden:
Umgeformte Preisabsatzfunktion wird aus
x(p) = 240 - 4p
abgeleitet nach p
x'(p) = -4 (x'(p) ist genau das gleiche wie dx/dp).
Wenn wir das jetzt in die Elastizitätsfunktion (e = dx/dp * p/x) einsetzen, dann erhalten wir:
e = -4 * p/x
p und x haben wir ebenfalls und zwar aus der ersten Aufgabe
x* = 108
p* = 33
Also ist das Endergebnis:
e = -4 * 33/108
e = -1,222222
Und was heißt dieses Ergebnis?!
Es heißt, dass wenn wir den Preis um 1 % erhöhen, dann sinkt (wegen dem Minus) die Nachfrage um 1,22 %.
[Es kann auch vorher dp/dx berechnet werden (würde die Ableitung von p nach x entsprechen) und dann erreicht man durch den Kehrwert ebenfalls dx/dp. Welche der beiden Möglichkeiten du nimmst, ist eigentlichh egal, weil es ja dasselbe ist (wenn man sich nicht verrechnet).]
Gruß und viel Erfolg
Robby
