Präferenzordnung und ableitbaren Nutzenfunktionen

im ersten Klausurteil "Haushaltstheorie" handelt es sich bei Aufgabe zwei fast immer um den gleichen Aufgabentyp - welche der Paare von Nutzenfunktionen jeweils dieselbe Präferenzordnung repräsentieren.

z.B. U(x1,x2) = x1+x2 und V (x1,x2) = - 1 / x1 + x2

Wie kann ich am besten diese Aufgaben lösen? So ganz verstehe ich die Lösungsansätze aus dem Script nicht, immer wenn ich meine, ich hätte es verstanden, sind dann doch andere Lösungen richtig.

Gibt es da einen guten Weg, wie ich die Aufgaben lösen kann?

Würde mich über eine Antwort sehr freuen🙂

Lg Maik

Maik,

U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab, wenn es eine Funktion h gibt, die alle Nutzenwerte von U "reihenfolgeerhaltend" auf Nutzenwerte von V abbildet, klar oder?

Diese Funktion h muss also:

1. U in V abbilden (transformieren), d.h. es muss gelten h(U(X)) = V(X) für jedes Güterbündel X

2. Überall streng monoton steigen, damit bei der Transformation von U nach V die Reihenfolge der Nutzenwerte erhalten bleibt.

Wenn es eine Funktion h gibt, die beide Eigenschaften erfüllt, genau dann bilden U und V auch dieselbe Präferenzordnung ab. Die Aufgabe besteht also darin, eine solche Funktion h aufzuspüren oder sich zu überlegen, dass es eine solche Funktion h nicht gibt. Ein Rezept gibt es für das Aufspüren einer solchen Funktion nicht, da hilft nur ein wenig mathematisches Gespür.

U(X1, X2) = X1 + X2

V(X1, X2) = -1 / (X1 + X2)

Hier betrachte h(x) = -1 / x (die habe ich durch "genaues betrachten" der Definitonen von U und V "aufgespürt")

1. Es gilt h(U(X)) = -1 / U(X1, X2) = -1 / (X1 + X2) = V(X) für ein beliebiges Güterbündel X

2. h'(x) = 1 / x^2 > 0 für alle x > 0, d.h. h ist überall streng monoton steigend.

Die Funktion h(x) = -1 / x erfüllt also beide formulierten Eigenschaften, d.h. U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab!

Liebe Grüße

Hey danke dir🙂

jetzt ist mir ein Licht aufgegangen🙂 Jedenfalls hatte ich jetzt die Aufgaben richtig und schließe daraus, dass ich es verstanden habe.

lg

Maik