Partielle Integration

Ich möchte folgendes Integral bearbeiten
-Integral lnx dx = integral 1 * lnx dx -

Die Regel für die partielle Integration, so wie ich sie verstanden habe, lautet:

1. Integral f’ * g = f * g – Integral f * g’
oder
2. Integral f * g’ = f * g – Integral f’ * g

Jetzt komme ich aber nur mit dem ersten Ansatz (1.) zum richtigen Ergebnis:
f = x g = lnx
f’ = 1 g’ = 1/x
Mit 1. berechnet: x * lnx – Integral x * 1/x, komme ich auf das richtig Ergebnis

Wenn ich das ganze mit dem zweiten Ansatz (2.) mache, wird es falsch.
f = 1 g =1/x
f’ = 0 g’ = lnx
Mit 2. berechnet: 1 * 1/x – Integral 0 * lnx, kommt etwas ganz anderes heraus.

Nun meine Fragen:
Wo rechne ich Blödsinn?
Wenn beide Variationen der partiellen Integration erlaubt sind und ich zu unterschiedlichen Ergebnissen komme, woran erkennt man wann ich welche Regel anwende?

Michael

Deine beiden Formeln zur Produkintegration stimmen zwar so, denn das Kommutativgesetzt gilt und sie sind daher äquivalent. Aber da das somit eigentlich nur eine Formel ist, solltest Du Dir lieber nur eine Variante merken, zusätzlich das Kommutativgesetz und lieber mehr Wert auf die Anwendung legen. 😉

[tex] \int f= \int gu' = gu - \int g'u [/tex]

Die Erweiterung mit 1 hast Du ja schon bemerkt, was eingentlich der einzige Haken an dem Integral ist:
[tex] \int \ln x= \int 1 *ln x [/tex]

[tex] ln x * x - \int x \frac 1 x = x \ln x -x [/tex]

Welcher Teil des Integrals nun u oder g ist mußt Du Dir schon vorher selbst überlegen, eben so, daß man hinterher im Integral was "netteres " stehen hat.
In diesem Fall stört das ln x, daher g=ln x.

Und das Integral von ln x sollte man sich lieber gleich merken.

Blockhaun,
aber warum bekomme ich zwei, für meine Begriffe, unterschiedliche Ergebnisse heraus? Müßte das Ergebnis nicht gleich sein?

Mit Ansatz1. berechnet:
x * lnx – Integral x * 1/x, komme ich auf das richtig Ergebnis.
Mit Ansatz 2. berechnet:
1 * 1/x – Integral 0 * lnx, kommt etwas ganz anderes heraus.

Michael

mifri58 schrieb:

Wo rechne ich Blödsinn?

Zum Vergrößern anklicken....

Da, wo du schreibst, dass g(x)=1/x und g'(x)=ln x ist. Die Ableitung von 1/x ist -1/x^2. g muss eine Funktion sein, die abgeleitet ln(x) ergibt.

mifri58 schrieb:

Hallo Blockhaun,
aber warum bekomme ich zwei, für meine Begriffe, unterschiedliche Ergebnisse heraus? Müßte das Ergebnis nicht gleich sein?

Mit Ansatz1. berechnet:
x * lnx – Integral x * 1/x, komme ich auf das richtig Ergebnis.
Mit Ansatz 2. berechnet:
1 * 1/x – Integral 0 * lnx, kommt etwas ganz anderes heraus.

Michael

Zum Vergrößern anklicken....

Wenn Du den Ansatz anders rumwählst, also nicht u'=1 g=ln x nimmst, sondern
u'=ln x g= 1
kommst Du auf wieder auf die Ausgangsgleichung
[tex] u= \int \ln x [/tex] | Hier hast Du einen Fehler gemacht und u' nochmals abgeleitet, integrieren ist aber gefragt
Nur, wenn man partiell integriert, da man das Integral vom ln x nicht kennt, kennt man das hier immer noch nicht. ^^ Man ist auf dem falschen Weg und sollte was anderes versuchen, aber weiter geht es:

g'= 0

[tex] \int \ln x= ug - \int ug' = 1 * \int \ln x -\int 0* \ln x = \int \ln x [/tex]

und schon ist man nicht schlauer als zu vor.

Chris*
natürlich hast du recht!!!!

Vielen Dank euch beiden für eure Hilfe.

Michael