Partielle Ableitungen der Lagrange-Funktion

Partielle Ableitungen der Lagrange-Funktion

Hallo zusammen,

habe ein kleines Problem mit den partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion. Wie sich die Funktion zusammenstellt ist mit schon klar, sprich Zielfunktion, Nebenbedingung etc.
Aber im Skript EBWL Seite 103 bei der Herleitung verstehe ich nicht wie man auf die dortigen partiellen Ableitungen kommt. Habe auch schon in anderen Buechern nachgeschlagen aber die Beispiele aehneln sich nicht sehr.
Die Funktion im Skript lautete:
L(r1,r2,"lambda")=q1 * r1 + q2 * r2 + "lambda" * (M-f(r1,r2)) -> min.

Die partiellen Ableitungen lauteten dann wie folgt:

'L/'r1 = q1 - "lambda" * ('M/'r1) = 0 -> "lambda" = q1/('M/'r1)

'L/'r2 = q2 - "lambda" * ('M/'r2) = 0 -> "lambda" = q2/('M/'r2)

'L/'"lambda" = M - f(r1,r2) = 0

Ich blicke da momentan irgendwie nicht durch wie die jeweiligen Ergebnisse zustande kommen. Kann mir da irgendjemand weiterhelfen? Verzweifel naemlich langsam schon daran 🙁 .

Danke und viele Gruesse,

Stefan

Hey leidensgenosse,

mir geht es genauso.also ich blick das bescheuerte ableiten bzw. das ganze ding auch nicht.hoffe das wir in der Klausur sowas nicht herleiten müssen :-(

sonst muss ich es auswendig lernen,grins

gruß

ihr beiden 🙂,

hab gerade mal so in eurem Thread gelesen. Ich hab vor ca. nem halben Jahr Einführung Wirtschaftswissenschaft genommen. Als ich in das Skript geguckt hab, hatte ich keinen Plan von irgendwas. Hab also ne Arbeitskollegin gefragt, ob sie mir das erklärt (sie ist Dipl. Kauffrau und hatte Investition und Finanzierung, etc. an der Uni). Darüberhinaus hab ich mir ein Buch zugelegt von Peter Dörsam. In dem Buch wird nicht einfach so mit Formeln um sich geworfen, wie in den Skripten, sondern "textuell" erklärt.

Vom auswendiglernen solcher Formeln, speziell wenns um Ableitungen geht, halte ich nichts. Man muß das anwenden können. Klaro gibt es Formeln, die man einfach so auswendig lernt, aber man sollte auch verstanden haben, weshalb es diese Formeln nun so gibt.

In der Klausur werdet ihr sicherlich damit in Berührung kommen. Ich hab gestern Einführung Wiwi geschrieben und ich hab auch gedacht, daß es reicht Formeln auswendig zu lernen. Bei einer Aufgabe hat es leider nicht gereicht und ich konnte nix..naja ich konnte bei dieser Aufgabe weniger als nix.

Soweit ich das gesehen habe würde ich mit ein bisschen Glück die Klausur bestanden haben, aber wie ich mein Glück kenne hab ich es um 1 oder 2 Punkte vermasselt, d.h. ich darf dieses Semester nochmals antreten und da heißts für mich eindeutig: VERSTEHEN und nicht einfach nur AUSWENDIGLERNEN.

Grüße aus Passau

Sascha

zum grossen Teil verstehe ich ja die Formeln und Ableitungen. Vieles kann ich mir noch nicht merken weil ich es erst einmal gelesen habe. Aber im konkreten Fall der Lagrange-Funktion versteh ich nicht wie man auf die Ableitungen kommt. Generell versuche ich bei jeder Formel Schritt fuer Schritt die Umformungen und Herleitungen nachvollziehen zu koennen. Was soweit auch ganz gut klappt. Mit wenigen Ausnahmen. Bin gerade zum Beispiel bei der Preiselastizitaet und wundere mich darueber warum im Skript der Bereich nur bis <0 (Restriktion) definiert ist und die gleiche Formel bei anderen Buechern auch fuer ueber Null. Ich finde irgendwie ist das im Skript echt mangelhaft veranschaulicht.
Buecher von Doersam habe ich einige. Unter anderem auch das ueber Differential- und Integralrechnung. Das werde ich versuchen naechste Woche durchzuarbeiten. Hoffe ich bin dann schlauer 😀.

Gruesse,

Stefan

Kollege

..sag mal...bist du denn der Lösung ein Stück näher gekommen? Also vom Verständnis her??

ich häng immer noch daran und komm nicht weiter.

Ich meine es anhand eines Mathebuches halbwegs verstanden zu haben ( wie gesagt...mir fehlen absolut die Mathekenntnisse)...aber wie die Ableitung im Skript zustande kommt is mir n Rätsel und durchlöchert mein eben erlangtes Verständnis mal wieder total :-9

Micha,

bzgl. der partiellen Ableitungen hat sich nix neues ergeben. Da klemmts noch. Naja, hab die EA schon gemacht und werde dann im Zuge der Vorbereitung zur Klausu diese Luecke schliessen. Es sei denn ich finde Zeit das zwischendurch mal zu erledigen. Habe da ein ganz gutes Buch wo ich nachschlagen werde. Finde ich zum Teil sogar besser als den Doersam. Wenn du willst kann ich dir mal den Titel und Autor angeben. Mit dem Buch hab ich auch den Simplex so ziemlich nachvollziehn koennen 😉.

Viele Gruesse,

Stefan

verdammte axt....bei mir klemmts nämlich gewaltig..und nicht nur da.

Aber so hatte ich mir das auch überlegt. Die Aufgaben so gut wie möglich zu lösen und dann versuchen den Rest aufzuholen. Leider bin ich eben sehr erklärungsbedürftig und meine Püppi, gerade 3 Jahre s Abi in der Tasche mit MAthe LK, is keine Hilfe...also nich diesbezüglich *g*

Wie heißt denn das Buch?? Ich brauch etwas wo es in der Art drinsteht:..."und dann musst du dies und das so machen, weil....."😉

Im Dörsam hab ich ja nachgeschlagen....und da war ich der Meinung dass ich es gerafft hab...aber beim Lösen einer Übungsaufgabe hab ich gemerkt, dass es eben nicht so ist...von der Aufgabe aus dem Skript rede ich ma gar nich :-/

Hab auch schon überlegt ob ich nich zur Nachhilfe gehe...so Blöd wie es klingt...aber ich möchts gern verstehn.

Alles andere finde ich ne recht machbare Sache...bisl lernen bisl Üben und man hats begriffen also alles <> Mathe 🙄

Grüße aus´m Harz

Wie ist bei dem Beispiel eigentlich die Funktion f(r1,r2) definiert? Dann könnte man überprüfen, ob die Ableitungen stimmen.

Die Funktion im Skript lautete:
L(r1,r2,"lambda")=q1 * r1 + q2 * r2 + "lambda" * (M-f(r1,r2)) -> min.

Die partiellen Ableitungen lauteten dann wie folgt:

'L/'r1 = q1 - "lambda" * ('M/'r1) = 0 -> "lambda" = q1/('M/'r1)

'L/'r2 = q2 - "lambda" * ('M/'r2) = 0 -> "lambda" = q2/('M/'r2)

'L/'"lambda" = M - f(r1,r2) = 0

Zum Vergrößern anklicken....

@ sid42000:

Geh die Sache mal so an, als wenn r1 = x ist und die Gleichung dann so ausschaut: L(x) = q1 * x + q2 * r2 + "lambda" * (M-f(x,r2))

Jetzt willst du die partielle Ableitung 'L/'x bilden:

Behandle q1, r2 und q2, wie normale Zahlen, da du nur nach x ableiten willst:

'L/'x = 1 * q1 * x^(1-1) + 0 * (q2 * r2) - "lambda" * ('M/'x)

--> 'M/'x steht für die 1. Ableitung von M-f(x,r2)

Nun ersetzt du x wieder mit r1:

'L/'x = q1 - "lambda" * ('M/'r1) = 0 -> "lambda" = q1/('M/'r1)

Als nächstes bildest du die partielle Ableitung 'L/'r2:

'L/'r2 = q2 - "lambda" * ('M/'r2) = 0 -> "lambda" = q2/('M/'r2)

Als nächstes bildest du die partielle Ableitung 'L/'"lambda":

Du ersetzt "lambda" mit x und los gehts:

'L/'x = 0 * q1 * r1 + 0 * q2 * r2 + 1* x^(1-1) * (M-f(r1,r2))

'L/'x = M - f(r1,r2)

Und nun wieder x durch "lambda" ersetzen:

'L/'"lambda" = M - f(r1,r2)



Hui, schaut sehr unübersichtlich aus, aber ist halt schwer zu erklären.
So wie oben erklärt, hab ichs mir halt zusammengereimt. Hoffe ich habe keinen Denkfehler drin.

Hm, sieht zwar sehr unuebersichtlich aus aber nach dem 3 mal hinschauen kann man die Schritte ganz gut nachvollziehn 🙂. Werde ich mir noch mal zu Gemuete fuehren wenn ich mich fuer die Klausur vorbereite oder das noch in einer anderen KE drankommt 🙂.
Danke dir!

Viele Gruesse,

Stefan

Partielle Ableitung

Partiell ableiten heißt - unmathematisch ausgedrückt - einfach nur, dass jeweils nach einer einzigen Variablen abgeleitet wird...
also beispielsweise wenn die Fkt. x1, x2 und x3 enthält, und man soll eine partielle Ableitung nach x1 bilden, dann werden x2 und x3 in dem Fall wie Konstante (könnte auch 2 und 5 stehen stattdessen) behandelt

Ich habn ähnliches Prob.Ich hab scho mal Lamba gekürzt und 5...

aber wie verdammt nochmal komm ich auf dieses Ergebnis? das ist die vereinigung der ersten und zweiten Ableitung.



Das ist aus der Klausurhilfe EBWL Seite 22

Capone schrieb:

aber wie verdammt nochmal komm ich auf dieses Ergebnis?

Zum Vergrößern anklicken....

Du fragst, wie die rechte Seite aus der linken entsteht? Durch Kürzen!

Zähler: (1/2) * r1^(-1/2) * r2^(1/3)[/COLOR]

Nenner: (1/3) * r1^(1/2) * r2^(-2/3)[/COLOR]

Kürzen ergibt:

(1/2) / (1/3) = 3/2

(-1/2) - (1/2) = -1 also r1^(-1) = 1/r1

(1/3) - (-2/3) = 1 also r2^(1) = r2[/COLOR]

Zusammengesetzt: (3/2) * r2/r1

Liebe Grüße

Wah vielen Dank. Da sitz ich jetzt schon eine Weile dran.

Lilith79 schrieb:

@ sid42000:

Geh die Sache mal so an, als wenn r1 = x ist und die Gleichung dann so ausschaut: L(x) = q1 * x + q2 * r2 + "lambda" * (M-f(x,r2))

Jetzt willst du die partielle Ableitung 'L/'x bilden:

Behandle q1, r2 und q2, wie normale Zahlen, da du nur nach x ableiten willst:

'L/'x = 1 * q1 * x^(1-1) + 0 * (q2 * r2) - "lambda" * ('M/'x)

--> 'M/'x steht für die 1. Ableitung von M-f(x,r2)

Nun ersetzt du x wieder mit r1:

'L/'x = q1 - "lambda" * ('M/'r1) = 0 -> "lambda" = q1/('M/'r1)

Zum Vergrößern anklicken....

Hallo,

kann mir bitte Jemand erklären, wieso hier beim partiellen differenzieren aus plus Lambda, minus Lambda wird?

Vielen Dank
Gruß mirotsu

mirotsu schrieb:

kann mir bitte Jemand erklären, wieso hier beim partiellen differenzieren aus plus Lambda, minus Lambda wird?

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Hallo Mirotsu,

L(x) = q1 * x + q2 * r2 + "lambda" * (M - f(x,r2))

Ausmultiplizieren:

L(x) = q1 * x + q2 * r2 + "lambda" * M - "lambda" * f(x,r2)

dL/dx
= q1 + 0 + 0 - "lambda" * df(x,r2)/dx
= q1 - "lambda" * df(x,r2)/dx

Beachte: die Summanden q2 * r2 und "lambda" * M sind bei Ableitung nach x Konstanten, die bei der Ableitung wegfallen (0), da sie von x unabhängig sind.

Das - ist also das - vor f(x,r2)

Liebe Grüße

ChrissiLLB schrieb:

L(x) = q1 * x + q2 * r2 + "lambda" * (M - f(x,r2))

Ausmultiplizieren:

L(x) = q1 * x + q2 * r2 + "lambda" * M - "lambda" * f(x,r2)

dL/dx = q1 + 0 + 0 - "lambda" * df(x,r2)/dx

Zum Vergrößern anklicken....

Hallo Chrissi,

vielen Dank schon mal.

- also bevor ich die Funktion (M - (f(x,r2)) ableiten kann, muss ich vorher die Klammer ausmultiplizieren?

- dann müsste es zuerst heißen lambda * - f(x,r2)?
Was wiederum - lambda * f(x,r2) entspricht?

- Wohin verschwindet bei der Ableitung das f? bzw. Warum dM/dx?

Gruß Mirotsu

mirotsu schrieb:

- Wohin verschwindet bei der Ableitung das f? bzw. Warum dM/dx[/COLOR]?

Zum Vergrößern anklicken....

In meiner Lösung dL/dx = q1 - "lambda" * df(x,r2)/dx steht nicht dM/dx und die Ableitung von f verschwindet nicht!

Ich habe das ein bischen anders hingeschrieben. Beachte, es gilt M = f(x,r2) und deshalb M - f(x, r2) in der Lagrangebedingung. M ist nur eine konkrete Ausbringungsmenge, also eine Konstante, die bei der Ableitung nach x wegfällt. f(x, r2) ist die Produktionsfunktion, die nach f abgeleitet wird df(x, r2)/dx.

Man kann auch schreiben:

dL/dx = q1 - "lambda" * dM/dx ...// aber: M steht nur für f(x, r2)

Dann sollte aber bewußt sein, dass M nicht das M (Ausbringungsmenge) aus dem Ursprungsterm ist, sondern als Abkürzung für f(x, r2) verwendet wird, also die Produktionsfunktion darstellt, die nach x abgeleitet wird.

Ich finde dL/dx = q1 - "lambda" * df(x, r2)/dx klarer.

Aber ob Du nun M oder f(x, r2) schreibt ist egal, solange Dir klar ist, dass beides dasselbe bedeutet, nämlich die Produktionsfunktion.

Liebe Grüße

Vielen Dank Chrissi!

Im Buch steht dM/dr1 und das verwirrt mich eben, aber jetzt versethe ich es.

lg mirotsu