• Guten Start ins Wintersemester 2024/2025

Partielle Ableitung Analysis

V

Veronika86

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ich hab mal wieder eine Frage:

Also, ich habe eine Polynomsfunktion gegeben:
f(x) = 2x^4 + 4x^3 - 2x² - 4x
wenn ich die erste Ableitung davon mache, bekomme ich
f'(x) = 8x^3 + 12x² - 4x - 4 = 0

das Problem ist jetzt, dass ich diese gleich Nullsetzen möchte, jedoch kein passendes absolutes Glied finden kann, denn
zb. 8*(1)^3 + 12*(1²) - 4*(1) -4 = 12

Was kann ich machen, wenn ich kein absolutes Glied findne kann, bzw. offensichtlich keines vorhanden ist. Ich hab auch shcon die Vorzeichen geprüft, doch die sind genau so gegeben. + + - -

Darf man das Horner Schema zweimal anwenden?, doch das funktioniert ja uahc nicht ohne dem absoluten Glied.

8 12 -4 -4
 
Zusatzfrage

Okay, ich hab da noch so eine Gleichung, die ist ähnlich, doch ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig an bin.

f'(x)= 4x^3 + 6x² - 2x - 2 dies hat ebenfalls die Lösung x = -0,5

im Horner Schema eingesetzt:
4 6 -2 -2
0 -2 -2 2
4 4 -4 0


4*(-0,5) = -2
4*(-0,5) = -2
-4 +(-0,5) = 2

Das kommt mir ziemlich komisch vor, diese Lösung, und dann mit 4x^3 + 4x^2 - 4x weiterrechnen, stimmt das?

Denn bei Weiterrechnen erlange ich die Extremwerte von 2 und -6, was gleich den Hochpunkt 358 und den Tiefpunkt 70 ergibt. das erscheint mir etwas komisch, wenn ich es so sagen darf.
 
Die Funktion
[tex] f'(x)=8x^3+12x^2-4x-4= [/tex]
ist eine Funktion 3. Grades, kann also maximal 3 reele Nullstellen haben, die erste kann man nun durch probieren finden, oder iterieren.
Die erste wurde Dir schon mit x=-0,5 von Nadine angegeben, also Polynomdivision:
[tex] (8x^3+12x^2-4x-4) /(x+0,5)=8x^2+8x+8 [/tex]

Nun die p,q-Formel
[tex] x_{2,3}=-1/2 + - sqrt {1/4-1) [/tex]

negative Wurzel, daher keine weitere reele Nullstelle.

Bei der zweitetn Funktion:

[tex] f(x)=4x^3+6x^2-2x-2 [/tex]
erste Nullstelle x=-0,5

Polynomdivision:
[tex] (4x^3+6x^2-2x-2 )/(x+0,5)=4x^2+4x-4[/tex]

p,q
[tex] x_{2,3} =-1/2+- sqrt{-1/4+4}=-1/2+-sqrt(15/4)

Was ist daran jetzt komisch?
 
Es ist net die Nullstelle, es ist ja f ' (x), die ich suche, die Nullstellen habe ich schon bekommen, doch bei der ersten Ableitung, die f ' (x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x - 2 ist, per Horner Schema komme ich dann auf 4x² + 4x -4 = 0 das ist mir schon klar.

mit der p-q-Formel ergibt sich dann doch 4/2 +- Wurzel aus 4²/4 - (-4), was dann unweigerlich zu 2 +- wurzel aus (4+4) ergibt, folglich ergeben sich eben diese Extremstellen -6 und 2, und wenn ich damit weiterrechne ergibt sich dieser hohe Extremstellenwert (-6/152) und (2/70) beide größer als Null und somit ein Tiefpunkt bzw. zwei. Müsste man nicht normalerweise einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt errechnen? Die errechneten Werte sagen mir, dass ich wohl irgendeinen blöden Denkfehler drinnen habe. und das ist "komisch".
 
Also ich würde ja sagen nach Anwendung der p,q - Formel ergibt sich für
4x² + 4x - 4 = 0
x² + x - 1 = 0
x1/2 = -0,5 +/- Wurzel (0,25 + 1) 😕

die pq Formel kann mann auch nur für quadratische Funktionen der Form x² + px + q anwenden, 4x² + 4x - 4 entspricht der Form ax² + bx + c und hier ist die pq Formel nicht direkt anwendbar.
 
Auch die erste Ableitung hat Nullstellen, nur sind dies eben auch Extremstellen der Stammfunktion, was aber nichts daran ändert, wie man sie berechnet. ^^
Die Berechnung läuft immer gleich ab.

Aber Du solltest Dir die p,q Formel nochmal ansehen, wie ich oben schon schrieb
[tex] 4x^2+4x-x [/tex]

führt dank p.q zu [tex] x_{2,3} = -0,5 +- sqrt{-0,25 +1 } [/tex]

Du mußt vorher die Gleichung auf x^2+px+q bringen.

Nochmal, um Nullstellen einer Funktion zu berechen muß man bei dieser so lange Nullstellen itterieren/raten und danach diese per Polynomdivision ausklammern, bis man allle Nullstellen hat.

Für Uns blöde BWLer und wie früher auch in der Schule sind die Nullstellen meist recht einfach zu raten und zumindest bis auf die letzten beiden glatt.

Bei der Funktion [tex] f(x)=4x^3+6x^2-2x-2 [/tex] würde ich alle Werte von -2 bis +2 ausprobieren, erstmal -2 -1 0 +1 +2 und danach die Halbwerte.

Und gewöhn Dir bitte Tex an, sowas wie Wurzel aus x hoch 3 -5 ist nicht gerade eindeutig.
 
Blockhaun schrieb:
Moin!

Aber Du solltest Dir die p,q Formel nochmal ansehen, wie ich oben schon schrieb
[tex] 4x^2+4x-x [/tex]

führt dank p.q zu [tex] x_{2,3} = -0,5 +- sqrt{-0,25 +1 } [/tex]
Du mußt vorher die Gleichung auf x^2+px+q bringen.

Und gewöhn Dir bitte Tex an, sowas wie Wurzel aus x hoch 3 -5 ist nicht gerade eindeutig.
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Sorry Tex kann ich leider auch net. Wie kommst du auf - 0,25 das ist doch + 0,25 da es ja heißt (p/2)² bzw. p²/4 und dann müsste es auch + 1/4 und nicht + 1 sein - oder?
 
Veronika86 schrieb:
Müsste man nicht normalerweise einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt errechnen? Die errechneten Werte sagen mir, dass ich wohl irgendeinen blöden Denkfehler drinnen habe. und das ist "komisch".
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Wo steht das denn geschrieben, dass man einen Hoch- und einen Tiefpunkt errechnet? Bilde die zweite Ableitung und setze deine Werte ein, dann siehst du, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
 
Nadine0207 schrieb:
Sorry Tex kann ich leider auch net. Wie kommst du auf - 0,25 das ist doch + 0,25 da es ja heißt (p/2)² bzw. p²/4 und dann müsste es auch + 1/4 und nicht + 1 sein - oder?
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Moin!

Jo, da habe ich mich vertan. Mit Tex meinte ich nicht Dich, sondern die OP, wir hatten gleichzeitig eine Antwort getippt.

@Veronika Du solltest Dir nochmal ansehen was Du da warum mit der Funktion machst, Nullstellen kann man immer berechnen

1. Ableitung Steigung
2. Ableitung Änderung der Steigung usw
 
Danke für eure Hilfe!

Ich bin nicht gerade ein Mathegenie, das ist es ja. Doch ich will es unbedingt! Also kämpf ich mich durch.

Das mit tex werd ich mir merken, guter Hinweis, hab ich noch nirgends gelesen oder überlesen gg. und auch, dass man mehrere Tiefpunkte haben kann und keinen Hochpunkt, ist beruhigend - sonst mach ich mir SOrgen warum ich zwei habe. die P-q-Formel bin ich am Pauken.

Da folgt gleich die nächste Frage:

Ich hatte eben einige Beispiele zb.: mit 4 Nullstellen und dann 3 Tiefpunkten, bei der grafischen Dartstellung hab ich jetzt nicht so den Durchblick. Normalerweise verbindet man doch die Nullstellen über den Wendepunkt zur nächsten Nullstelle.
Ich hab jetzt alle Punkte von rechts nach links nach Höhe miteinander verbunden
Ich hab zum Beispiel einen hohen Tp2 hoch der gleichzeitig ein W2 ist, und dann T3 tief, N3 tief, n4 ggleich, T1 hoch, n1 tief und n2 = w1, gleich.

Und nächste frage, die Berechnung der eingeschlossenen Fläche zwischen den Graphen der Funktion und der x-Achse. Die bereitet mir auch Schwierigkeiten. Ich hab die Nullstellen und dann?
 
Man kann zwar mehr lokale Minima einer Funktion haben als Maxima, aber dennoch bedarf es pro zwei Minima eines Maxima dazwischen und umgekehrt, das geht sonst nicht. ^^

Such Dir per Google mal einen Onlineplotter und lass Dir die Funktion zeichnen.

Bei Vier Nullstellen, also einer Funktion min. 3. Grades, hast Du auch min. 3 Extremstellen.

Wie wäre es, wenn Du einfach mal die Funktion, die Du diskutieren sollst hier angibst? Dann mache ich das mal kurz vor.

Flächenberechung erfolgt über das Integral, also über die Aufleitung von f(x), obere minus untere Grenze, aber auch da lieber an dem Beispiel.
 
Ich finde so manches schlecht!
Auch, wenn man nicht einfach freundlich auf den vorweihnachtlichen Tipp-/Denk-fehler hingewiesen wird und stattdessen solch produktives höfliches Posting lesen darf.

Schließlich helfe ich hier freiwillig meinen Kommilitonen, dafür möchte ich dann aber auch nicht für Fehler angeblafft werden.

Wichtig war zu dem in meiner Aussage, daß man bei negativer Wurzel eben keine weiteren Nullstellen/Extremstellen der Funktion errechnen muß/kann, daher sehe ich den Holzweg trotz falscher Nomenklatur nicht gegeben

P.S
Klara war schneller ^^
 
Stopp!

Also ich bin sehr dankbar - für eure Hilfe. Fragt mal mich, was ich alles falsch zusammenrechne und benenne!

Ahm ja. Also, ich hatte in meinem Beispiel einen Rechenfehler. Es ist doch so, dass man wenn man zum Beispiel vier Nullstellen hat, das nicht gleichzeitig bedeutet, dass man auch Extremstellen haben muss - also wenn zum Beispiel die p-q-Formel oder die Mondscheinformel nicht lösbar sind - also zu keinem Ergebnis führen, gibt es auch keine Extremstellen.
Und wenn man zum Beispiel zwei Tiefpunkte hat, muss ein Hochpunkt zwischen den Tiefpunkten liegen - also mindestens ein Hochpunkte existieren.

Ich glaub das ist zusammenfassend jetzt richtig - doch ich lass mir gern "Holzwege" kommentieren! gg

LG Veronika
 
Okay, da steh ich an, Blockhaun meinte doch, dass "Man kann zwar mehr lokale Minima einer Funktion haben als Maxima, aber dennoch bedarf es pro zwei Minima eines Maxima dazwischen und umgekehrt, das geht sonst nicht."

Also warum stimmt das im Allgemeinen Nicht und woher bekommst du f(x)= x² + 1/x² - ist das die p-q-Formel p² +- tex (p²/2 - q) umgekehrt? Man darf doch die Formel nicht einfach verändern, oder?
 
Die Funktion ist an den Stelle 0 nicht definiert, da wäre aber das "lokale" Maximum. Für überall stetige Funktionen, deren Ableitung nur reelle Nullstellen hat, dürfte es aber stimmen.
 
Jetzt bin ich verwirrt.

Heißt das, wenn ich nur Nullstellen gegeben habe, und keine Extremstellen berechenbar sind, mit der p-q-Formel oder der Mondscheinformel, dass das maxima automatisch im Punkt Null liegt?
Oder soll man dann einfach mit f(x) = x² + 1/x² weiterrechnen? Wie kommt ihr auf die Formel? Und woher habt ihr die?
 
Dr Franke Ghostwriter
Veronika86 schrieb:
Jetzt bin ich verwirrt
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Merkt man. Aber das bekommen wir hin!

Die "Formel" f(x) = x² + 1/x² ist eine Beispielgleichung, die Dir zeigen soll, dass zwischen zwei Minima nicht unbedingt ein (berechenbares) Maximum liegt. Ich habe sie geplottet und als Anhang beigefügt.

Die p-q-Formel dient zum Bestimmen von Nullstellen von quadratischen Gleichungen, also nur von Gleichungen, die Du in die Form

0 = x² + p x + q (*)

bringen kannst. (Die Gleichung x² + 1/x² = 0 läßt sich umformen in x² + x^(-2). - Der Faktor x(^-2) kommt in der Gleichung (*) schlicht nicht vor, also kannst Du zur Nullstellenbestimmung der Gleichung x² + 1/x² nicht verwenden.)
 

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