ÖTP - Definition SDF

ÖTP - Definition SDF

Hallo,

ich habe eine Frage zur Definition 1.7.

Im Skript steht auf Seite 14, dass eine kollektive Entscheidungsregel genau dann gesellschaftliche Entscheidungsfunktion heisst, wenn die gesellschaftliche Präferenzrelation R auf der Alternativenmenge X eine Auswahlfunktion erzeugt.

Wenn ich mir die Definition der Auswahlfunktion anschaue, komme ich ins Grübeln ...

Die Auswahlfunktion auf (wieso auf?) einer Menge X ist eine Vorschrift, die auf Basis einer Präferenzrelation R jeder nichtleeren Teilmenge S eine nichtleere Auswahlmenge C(S) zuordnet.

formal: S = (x,y) so gilt z.B. für x E C(S) > für alle y E : x R y

Somit ist x bestes Element der Teilmenge.

Auf Basis einer Präferenzrelation heisst für mich, dass die Auswahlfunktion erst durch das Vorhandensein der Präferenzrelation funktioniert, da diese das Verhältnis angibt, wie die einzelnen Elemente der Teilmenge zueinander stehen, z.B. schwache Präferen x R y ("mindestens so gut wie").

In Theorem 1.1 und Definition 1.7 steht nun aber, dass die Präferenzrelation eine Auswahlfunktion "erzeuge".


Die Begriffe machen mich etwas wirr. Ich dachte, dass eine Auswahlfunktion aus einer Menge an Alternativen eine Präferenzrelation erzeugt, die im Folgenden unter der Voraussetzung, dass die für die SDF geforderten Bedingungen erfüllt, als soziale Entscheidungsfunktion bezeichnet wird 😀

Hmm ....

Wer kann mir helfen?

Gruß aus Köln.

Fehler in Aufgabe 14 b2, Kap. 1.1.1?

Hey Dominic, sorry ich bin leider noch nicht auf Seite 14🙄, habe aber auch eine Frage, muss in der Wahrheitstafel der Aufgabe 14 b2 in der Mitte nicht xPy stehen? yRx macht fuer mich dort keinen Sinn??
Greetings
Jonas

Dominik_,

erstmal herzlich willkommen im Studienservice

Dominik_ schrieb:

Die Auswahlfunktion auf (wieso auf?) einer Menge X ist eine Vorschrift(...)

Zum Vergrößern anklicken....

Dass eine Funktion auf einer Menge erzeugt wird, ist Mathematikersprech. Das liegt daran, dass man bei der Definition einer Funktion eigentlich immer angeben muss, für was für eine Menge die Funktion sein soll. Wiwis lassen das schludrigerweise oft weg, weil die eh meist mit IR arbeiten...😉 Hier ist das aber nicht so, hier bezieht man sich auf eine Menge von Alternativen (z.B. alternative Verwendung der Steuereinnahmen oder verschiedene Steuersätze oder die Farben von Gummibärchen.

Dominik_ schrieb:

Auf Basis einer Präferenzrelation heisst für mich, dass die Auswahlfunktion erst durch das Vorhandensein der Präferenzrelation funktioniert, da diese das Verhältnis angibt, wie die einzelnen Elemente der Teilmenge zueinander stehen, z.B. schwache Präferen x R y ("mindestens so gut wie").

Zum Vergrößern anklicken....

Richtig. Die Auswahlfunktion sucht das beste Element aus einer Menge an Alternativen aus. Nehmen wir an, wir brauchen eine Auswahlfunktion, die unsere Lieblingsgummibärchen aus der Tüte sucht. Das geht natürlich nur, wenn wir die Funktion vorher mit Informationen darüber füttern, welche die Lieblingsfarben unserer Gruppe sind, also z.B. rote R grüne.

Dominik_ schrieb:

Die Begriffe machen mich etwas wirr. Ich dachte, dass eine Auswahlfunktion aus einer Menge an Alternativen eine Präferenzrelation erzeugt

Zum Vergrößern anklicken....

Nee nee. Wir haben ja jetzt noch ein Problem. Wie sind wir darauf gekommen, dass die Gruppe rote Gummibärchen mindestens so gut findet wie grüne? Jeder hat ja individuelle Vorlieben (ich z.B. mag keine weißen, die anderen finde ich in etwa gleich lecker, bin da also indifferent.)

Aus den individuellen Präferenzen, die wir haben, müssen wir eine Gruppenpräferenz zusammensuchen. Das erledigt die kollektive Entscheidungsregel (CCR, siehe Def. 1.3). Das ist eine Funktion, die aus unseren Vorlieben bei den Gummibärchenfarben eine Gruppenhitliste erzeugt (wie auch immer das vonstatten geht, sielt jetzt hier keine Rolle).

Und wenn die von der CCR (Creedence Clearwater Revival...?😕😉) zudem auch noch so freundlich ist, eine Gruppenpräferenz zu erzeugen, die sicherstellt, dass wir tatsächlich mindestens ein bestes Element aus der Auswahl finden, dann ist das eine Soziale Entscheidungsfunktion (SDF).

Die Reihenfolge ist also:

1. Es geht los mit den individuellen Vorlieben Ri des Gruppenmitgliedes i.
2. Aus den individuellen Vorlieben erzeugt die CCR eine Gruppenpräferenz R.
3. Wenn dann dabei auch noch eine Auswahlfunktion rauskommt, ist die CCR eine SDF.

Wie gesagt geht an dieser Stelle noch nicht um das Problem, wie die CCR konkret aussieht. Das Problem ist, dass es, egal wie man es macht, stets zu Problemen kommt. Entweder (bei Arrow) dazu, dass es stets einen Diktator gibt wenn die vier Bedingungen gestellt werden. Und bei Sen, dass die Bestenauswahl nicht eindeutig sein muss, wenn man die Transitivitätsbedingung lockert.