Optimaler Kapitalstock

da draußen, :hilfe:

kann mir jemand erklären, wie ich von der abgeleiteten Gewinnmaximierungsfunktion auf den optimalen Kapitalstock komme?

Im aktuellen Makro-Skript findet sich das Problem auf Seite 45 (KE 1). Wie kommt man von Gleichung 3.23 auf 3.24? Irgendwie komme ich nicht mit der Umformung zurecht.

Hoffe, dass mir jemand helfen kann. Danke im voraus,

viele Grüße aus dem Schnee,

Xenia.

Das ist eine "einfache" Umformung 😉 Es ist

[tex]Q_K=bN^aK^{b-1}-i=0[/tex]

Das ist (3.23). i auf beiden Seiten addieren:

[tex]bN^aK^{b-1}=i[/tex]

Durch [tex]bN^a[/tex] dividieren:

[tex]K^{b-1}=\frac {i}{bN^a}[/tex]

Jetzt hast Du das Problem, dass Du K mit einer doofen Potenz links stehen hast. Um die wegzukriegen, musst Du alles mit 1/b-1 potenzieren.

[tex]K=\left(\frac {i}{bN^a}\right)^{1/b-1}=\frac{i^{1/b-1}}{(bN^a)^{1/b-1}}[/tex]

Der letzte Trick, der jetzt noch folgt, hat mehr kosmetische Gründe. b-1 ist negativ (weil b<1 angenommen wird). Um einen positiven Bruch in den Exponenten zu kriegen, nutzt man aus, dass [tex]a^{-n}=1/a^n[/tex] ist.

Nehmen wir nur den Zähler des Bruchs [tex]i^{\frac{1}{b-1}[/tex]. Wenn wir die Potenz mit -1 multiplizieren ist das [tex]\frac{1}{i^{\frac{1}{-(b-1)}}}=\frac{1}{i^{\frac{1}{1-b}}[/tex].

Genau dasselbe machen wir mit dem Nenner [tex]\frac{1}{(bN^a)^{1/b-1}}[/tex]. Die Potenz mit -1 multiplizieren ergibt in der Petenz denselben Bruch (1/1-b) und insgesamt einen Doppelbruch
[tex]\frac{1}{\frac{1}{(bN^a)^{1/1-b}}}=(bN^a)^{1/1-b}[/tex]

Nun fügen wir die beiden Teile wieder zusammen:

[tex]\frac{(bN^a)^{1/1-b}}{i^{1/1-b}}=\left(\frac{bN^a}{i}\right)^{\frac{1}{1-b}}[/tex]

Und fertig ist (3.24).

Vielleicht ein Tip zur Umformung. Man kann die erste Gleichung auch folgendermaßen schreiben:

[tex]Q_K=bN^a/K^{1-b}-i=0[/tex]

kridbonn hat ja schon den Zusammenhang [tex]a^{-n}=1/a^n[/tex] erläutert. Nun kann man gleich von Anfang an anders umformen und bekommt folgende Schritte:

[tex]bN^a/K^{1-b}=i[/tex] mal [tex]K^{1-b}[/tex]

[tex]bN^a=i*K^{1-b}[/tex] geteilt durch i

[tex]bN^a/i=K^{1-b}[/tex] rechte und linke Seite tauschen

[tex]K^{1-b}=bN^a/i[/tex] und nun die (1-b)te Wurzel ziehen

[tex]K={(bN^a/i)}^{1/{1-b}}[/tex]

So geht's auch. 🙂

Btw: Ich war so frei und hab einen Tippfehler aus einer Formel entfernt...

kridbonn schrieb:

So geht's auch. 🙂

Btw: Ich war so frei und hab einen Tippfehler aus einer Formel entfernt...

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Danke sehr, obwohl ich doch gerade auch noch mal am editieren war. *g*

beiden, :dankescho

vielen, vielen Dank, Ihr seid super! Jetzt habe ich es verstanden. Mein Problem war vorallem, diesen blöden Exponenten bei K wegzukriegen. Irgendwie habe ich nirgendwo eine allgemeingültige Formel für dieses Problem gefunden. In alten Klausuren wurde nämlich gelegentlich nach der Berechnung des opt. Kapitalstocks gefragt.

Viele Grüße, Xenia.

Xenia schrieb:

Hallo Ihr beiden, :dankescho
...
In alten Klausuren wurde nämlich gelegentlich nach der Berechnung des opt. Kapitalstocks gefragt.

Viele Grüße, Xenia.

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Da kannst Du jetzt gleich zur Übung einmal die optimale (gewinnmaximale) Arbeitsnachfrage der Unternehmen berechnen.
😛

Thomas W. schrieb:

Da kannst Du jetzt gleich zur Übung einmal die optimale (gewinnmaximale) Arbeitsnachfrage der Unternehmen berechnen.
😛

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:dagegen:
Jetzt aber mal langsam, so weit bin ich noch nicht. Bring' nicht meinen ganzen Lernplan durcheinander. Spätestens zwei Tage vor der Klausur kann ich Dir die Frage aber beantworten 😉.

Gruß, Xenia.

Xenia,

das ist wieder Potenzrechnen für Fortgelaufene. Da ich jetzt gerade keine Lust zum zum ausführlichen TeXten habe 🙄😀 den Rechenweg als handschriftlichen Anhang. Ich hoffe, man kann's lesen...

Kridbonn ist immer etwas schneller ... aber ich gebe trotzdem nochmal einen alternativen Rechenweg. In der Klausur ist die Zeit ja begrenzt. Deswegen würde ich immer gleich mit der Bedingung anfangen, die immer gilt: Entlohnung des Produktionsfaktors = Grenzproduktivität, hier also:

[tex]i=Y_k[/tex]

nun die Ableitung der Prod.-funktion einsetzen
[tex]i=N^{\alpha}(1-\alpha)K^{-\alpha}[/tex]

das hoch minus in den Nenner bringen
[tex]i=\frac {N^{\alpha}(1-\alpha)}{K^{\alpha}}[/tex]

den Bruch mit [tex]K^{1-\alpha} [/tex] erweitern
[tex]i=\frac {(1-\alpha)N^{\alpha}K^{1-\alpha}}{K^{\alpha}K^{1-\alpha}}[/tex]

und jetzt steht im Zähler die Produktionsfunktion und im Nenner ist die Summe der Exponenten 1, woraus sich ergibt
[tex]i=\frac {(1-\alpha)Y}{K}[/tex]

jetzt noch durch i und mal K nehmen
[tex]K=\frac {(1-\alpha)Y}{i}[/tex]

Sie haben fertig

beiden,

super, vielen Dank. Thomas, lass den Kopf nicht hängen, wenn kridbonn immer etwas schneller ist, vielleicht lebt er ja in einer anderen Zeitzone 😀. Ich finde es jedenfalls super, wenn ich immer zwei etwas verschiedene Lösungsvorschläge kriege, dann kann ich mir die aussuchen, mit der ich besser zurecht komme.

Nochmals vielen Dank,

Grüße, Xenia.

Thomas' Methode ist natürlich eleganter – aber man muss halt auf den Trick kommen. In der Klausur ist sowas ja nicht immer garantiert, weswegen es sicher nicht schlecht ist, wenn man mit Brüchen und Potenzen fit ist. Dann kann man solche Aufgaben auch problemlos "zu Fuß" zu einem guten Ende bringen.