optimalen Kapitalstock berechnen

ein Beispiel für das Investitionsverhalten. Dort wird der optimale Kapitalstock berechnet.
Soweit ist alles klar. Ich komme nur nicht auf den Schritt von K[SUP]opt[/SUP]=((1-a)*N[SUP]a[/SUP]/i)[SUP]1/a [/SUP]= (1-a)*Y/i. Also die Umformung auf der rechten Seite.

In der Fußnote ist angegeben, dass mit K[SUP]1-a[/SUP] erweitert wird, dann die orginale Produktionsfunktion (Y=N[SUP]a[/SUP]K[SUP]1-a[/SUP]) mit Y ersetzt wird und wieder nach K aufgelöst wird. Und bei dem Auflösen kommen ich nicht hin. Ich habe auf beiden Seiten mit K[SUP]1-a [/SUP]erweitert, komme dann auf der linken Seite auf K*K[SUP]1-a[/SUP], das ist dann K[SUP]2-a[/SUP]. Wenn ich das dann weiter auflöse komme ich auf der rechten Seite immer auf (...)[SUP]1/2a-a[/SUP][SUP]2[/SUP]. Die Potenz fällt einfach nicht weg ^^

Kann mir dabei jemand auf die Sprünge helfen? Dummerweise kam das auch in der Klausur 03/99 dran. Daher möchte ich diese Umformung nicht unter den Tisch fallen lassen.

Vielen Dank und viele Grüße
nellybaer

Ich rechne die Aufgabe so:

Y = N^a * K^(1-a)

Q = Y - Q/P * N - i * K

Optimaler Kapitalstock K = Kopt:

dQ/dK = dY/dK - i = 0

dY/dK = i

Nun ist dY/dK = (1-a) * N^a * K^-a, also:

(1-a) * N^a * K^-a = i

(1-a) * N^a * K^(1-a) / K = i

(1-a) * Y / K = i

K = Kopt = (1-a) * Y / i

Liebe Grüße

nellybaer schrieb:

K[SUP]opt[/SUP]=((1-a)*N[SUP]a[/SUP]/i)[SUP]1/a [/SUP]

Zum Vergrößern anklicken....

Von hier aus:

Kopt = ((1-a) * N^a / i)^1/a

Kopt^a = (1-a) * N^a / i

i = (1-a) * N^a * Kopt^-a

i = (1-a) * N^a * Kopt^(1-a) / Kopt

i = (1-a) * Y / Kopt

Kopt = (1-a) * Y / i

Liebe Grüße

nellybaer schrieb:

Hallo liebe Kommolitonen,

ein Beispiel für das Investitionsverhalten. Dort wird der optimale Kapitalstock berechnet.
Soweit ist alles klar. Ich komme nur nicht auf den Schritt von K[SUP]opt[/SUP]=((1-a)*N[SUP]a[/SUP]/i)[SUP]1/a [/SUP]= (1-a)*Y/i. Also die Umformung auf der rechten Seite.

In der Fußnote ist angegeben, dass mit K[SUP]1-a[/SUP] erweitert wird, dann die orginale Produktionsfunktion (Y=N[SUP]a[/SUP]K[SUP]1-a[/SUP]) mit Y ersetzt wird und wieder nach K aufgelöst wird. Und bei dem Auflösen kommen ich nicht hin. Ich habe auf beiden Seiten mit K[SUP]1-a [/SUP]erweitert, komme dann auf der linken Seite auf K*K[SUP]1-a[/SUP], das ist dann K[SUP]2-a[/SUP]. Wenn ich das dann weiter auflöse komme ich auf der rechten Seite immer auf (...)[SUP]1/2a-a[/SUP][SUP]2[/SUP]. Die Potenz fällt einfach nicht weg ^^

Zum Vergrößern anklicken....

Erweitern bedeutet aber etwas anderes als Du denkst.

Erweitern bedeutet einen Term, z.B. N^a, wertneutral mit 1 zu multiplizieren und zwar in der Form von b / b, z.B. K^(1-a) / K^(1-a):

K = ((1-a) * N^a / i)^1/a

K = ((1-a) * N^a * [K^(1-a) / K^(1-a)] / i)^1/a ...// N^a erweitern zu N^a * [K^(1-a) / K^(1-a)]

K = ((1-a) * Y / K^(1-a) / i)^1/a

K^a = (1-a) * Y / K^(1-a) / i

K^a * K^(1-a) = (1-a) * Y / i

K^(a+1-a) = (1-a) * Y / i

K = (1-a) * Y / i

Liebe Grüße

heute morgen beim Gassi gehen mit dem Hund ist es mir eingefallen. Natürlich geht es nur um den einen (wertneutral) zu erweiternden Bruch.
Weiß nicht wie ich mich darauf verbissen haben konnte beide Seite zu multiplizieren.

Vielen Dank für Deine ausfürlichen Hilfen.

Viele Grüße
nellybaer