Nachfragefunktion

In einer Übungsaufgabe des Lehrstuhls (https://www.fernuni-hagen.de/BWLOR/assets/uebung/c05412.pdf auf Seite 6) geht es um eine Nachfragefunktion in Abh. vom Preis. Bei Lsg. D wird bewiesen, dass der Umsatz beim Preis b/2 maximal ist. Dazu wird eine Gleichung aufgestellt, bei der durch Extremwertberechnung bewiesen wird, dass das Maximum bei b/2 liegt. Ich Frage mich jedoch, wie ich bei der Aufstellung der Umsatzfunktion darauf kommen sollte, dass N(p)*p=(-c/b+c)*p ist. Es geht mir besonders um die Interpretation des Klammerausdrucks.

Da nicht erklärt ist, was c ist, kann ich die Lösung auf Anhieb auch nicht nachvollziehen. Aber so geht's auch:

Die Nachfragefunktion ist linear und hat die allgemeine Form

N(p) = ap + c.

Aus der Zeichnung ist zu ersehen, dass für p = b gilt N(b) = 0. Wenn ich das einsetze folgt

0 = N(b) = ab + c, was umgestellt ergibt c = -ab und eingesetzt in die Nachfragefunktion

N(p) = ap - ab = a (p-b)

Umsatz ist Preis mal Menge, also

[tex]U(p) = N(p)\cdot p=ap^2-abp[/tex]

Diese Funktion hat als Maximum

[tex]p=\frac{b}{2}[/tex]

Also ist D richtig.

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Wenn ich die erste und zweite Ableitung bilde, erhalte ich leider ein Minimum.

U'(p)=2ap-ab=0 => 2ap=ab => 2p=b => p=b/2

U"(p)=2a>0 => Minimum

Woher weisst Du, dass a positiv ist? 😛

Von Wissen habe ich ja gar nicht gesprochen 😀
ABER in der Musterlösung ist der Term idealerweise negativ.
Wobei das auch nicht eindeutig ist, denn c/b könnte ja auch negativ sein und dann wäre das Ergebnis auch wieder >0 😕

Also geht es wohl nur darum festzustellen, dass ein Extrem vorliegt und
einen negativen Umsatz kann es ja nicht geben.

Ich würde folgendermaßen argumentieren. Die Nachfrage ist für Preise unterhalb von b positiv:

N(p) = ap - ab = a (p-b) > 0.

Wird nun

[tex]p=\frac{b}{2}[/tex]

eingesetzt, ergibt sich

[tex]N(\frac{b}{2})=a \cdot (-\frac{b}{2}) > 0[/tex]

Und diese Bedingung ist erfüllt für a < 0.