Also, hier der ausführliche Rechenweg.
Dein System lautet:
[tex]
(1) Y = C(Y) + I(i) + \bar G + NX(Y, \bar Y^{a}, q)
(2) \bar M = \bar P * L(Y, i)
(3) \bar P * NX(Y, \bar Y^{a}, q) = 0
(4) q = e* \frac{\bar P^{a}}{\bar P}
[/tex]
1. Totales Differenzieren der Gleichungen (1) - (4) unter Berücksichtigung, dass die exogenen Größen ([tex] d\bar Y^{a} = d\bar M = d\bar P = d\bar P^{a} [/tex]) beim Differenzieren 0 werden (sind ja von "außen" vorgegeben) - ACHTUNG: [tex] d\bar G [/tex] wird nicht 0, da Du ja eine expansive Fiskalpolitik betreibst - liefert:
[tex]
(1*) dY = C_{Y} dY + I_i di + d\bar G + NX_{Y} dY + NX_{q} dq
(2*) 0 = \bar P * L_{Y} dY + \bar P * L_{i} di
(3*) \bar P * NX_{Y} dY + \bar P * NX_{q} dq = 0
(4*) dq = \frac{\bar P^{a}}{\bar P} de
[/tex]
2. Jetzt folgt das "Sortieren" des LGS ([tex] d\bar G [/tex] auf die rechte Seite, der Rest nach links) und in Gleichung (2*) und (3*) kann man [tex] \bar P[/tex] rauskürzen, da man es ja in beiden Summanden vorkommt, daher ausgeklammert und weggekürzt werden kann.
[tex]
(1**) (1- C_{Y} - NX_{Y}) dY - I_i di - NX_{q} dq= d\bar G
(2**) L_{Y} dY + L_{i} di = 0
(3**) NX_{Y} dY + NX_{q} dq = 0
(4**) dq = \frac{\bar P^{a}}{\bar P} de
[/tex]
3. Jetzt setzt man(4**) für dq in den Gleichungen (1**) und (3**) ein:
[tex]
(1***) (1- C_{Y} - NX_{Y}) dY - I_i di - NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P} de= d\bar G
(2***) L_{Y} dY + L_{i} di = 0
(3***) NX_{Y} dY + NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P} de = 0
[/tex]
4. Auf die Form A*x = b bringen:
[tex] A = \begin{pmatrix} (1- C_{Y} - NX_{Y}) & -I_{i} & -NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P}
\\ L_{Y} & L_{i} & 0
\\ NX_{Y} & 0 & NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P} \end{pmatrix} [/tex]
[tex] x = \begin{pmatrix} dY \\ di \\ de \end{pmatrix} [/tex]
[tex] b = \begin{pmatrix} d\bar G \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/tex]
5. detA berechnen:
[tex] detA = NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P} * (L_{i} - C_{Y}*L_{i} + L_{Y}*I_{i}) = NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P} * L_{i}* (1 - C_{Y} + L_{Y}* \frac{I_{i}}{L_{i}}) [/tex]
6. Jetzt wird die 3. Spalte der Matrix durch den Vektor b ersetzt (in der 3. Spalte stehen die Werte zu de und das möchtest Du ja berechen):
[tex] dete = - NX_{Y} * L_{i}*d \bar G [/tex]
7. de berechnet sich jetzt wie folgt: [tex] de = \frac{dete}{detA} [/tex]:
[tex] de = \frac{- NX_{Y} * L_{i}*d \bar G}{NX_{q} * \frac{\bar P^{a}}{\bar P} * L_{i}* (1 - C_{Y} + L_{Y}* \frac{I_{i}}{L_{i}})} [/tex]
[tex] L_{i} [/tex] kann nun gekürzt werden und [tex] d\bar G [/tex] wird auf die linke Seite gebracht und es gilt [tex] P = \bar P^{a} [/tex]
[tex] \frac{de}{d \bar G} = \frac{- NX_{Y}}{NX_{q} * (1 - C_{Y} + L_{Y}* \frac{I_{i}}{L_{i}})} [/tex]
8. Aus den Angaben zu den partiellen Ableitungen aus der Aufgabenstellung auf S. 3 kannst Du ja erkennen, ob die einzelnen Komponenten < oder > 0 sind. Die Vorzeichen kannst Du Dir klein darüber schreiben und dann siehst Du, dass der Multiplikator > 0 ist.
