Minimalkostenkombination

Susi-MX3 · 27 März 2012

bei den verschiedenen Klausuren gibt es unterschiedliche Herangehensweisen, um die MKK und die minimalen Kosten zu bestimmen.

In Klausur 09/2011 ist folgende Fnúnktion gegeben:

x = 2*r1^2/3 + 1/2*r2
q1 = 8 und q2 = 15
Output x = 8 ME

In der Lösung wird so vorgegangen, dass der teurere Faktor auf 0 gesetzt wird, dann nach r1 aufgelöst und die beiden errechneten Wert r1 = 8 und r2 = 0 werden in K eingesetzt. Ergebnis K = 64

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In Klausur 03/2010 ist folgende Funktion gegeben:

x = 0,5r2^1/2 + 0,25r1
q1 = 7 und q2 = 2
Output x = 3 ME

In der Lösung wird "VErhältsnis Grenznutzen = Verhältnis Faktorpreise" berechnet, nach r2 aufgelöst, dann r2 in K eingesetzt und nach r1 aufgelöst.

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In Klausur 09/2007 ist folgende Funktion gegeben:

x = 5 * Wurzel (r1 * r2)
q1 = 25 und q2 = 16
Output x = 890 ME.

Hier wird in der Lösung der Lagrange-Ansatz angewendet.

Woher weiß ich, wann ich welches Verfahren einsetze? Die Fragestellungen sind ja immer gleich?

Viele Grüße

Ferah · 27 März 2012

ich denke in Klausur 09/2007 kannst du auch mit der Glg: "Verhältsnis Grenznutzen = Verhältnis Faktorpreise" berechnen. So wie ich das verstanden habe ist diese Gleichung nur eine Umstellung/Optimierung vom Lagrange-Ansatz.
Für Klausur 09/2011 habe ich mir folgendes zusammengedacht: Wenn ein Faktor negativ ist und 2. Ableitung von Lagrange dieses Faktors Null ist, wird er auf Null geetzt und mit dem anderen Faktor nur noch gearbeitet...

Susi-MX3 · 27 März 2012

Ferah schrieb:
ich denke in Klausur 09/2007 kannst du auch mit der Glg: "Verhältsnis Grenznutzen = Verhältnis Faktorpreise" berechnen. So wie ich das verstanden habe ist diese Gleichung nur eine Umstellung/Optimierung vom Lagrange-Ansatz.
Für Klausur 09/2011 habe ich mir folgendes zusammengedacht: Wenn ein Faktor negativ ist und 2. Ableitung von Lagrange dieses Faktors Null ist, wird er auf Null geetzt und mit dem anderen Faktor nur noch gearbeitet...

Danke Dir.

Nur wie kommt man darauf? Warum kann man nicht einfach bei allen Aufgaben mit Lagrange rechnen? Oder bei alle mit dem ansatz "teuren Faktor auf Null setzen"??

Ferah · 27 März 2012

Meine Erklärung (die nicht richtig sein muss): kommt auf die Gleichung an. Nur wenn die Faktoren substituierbar sind, kannst du einen Faktor auf Null setzen, sonst ist ja auch das Endprodukt Null. Substituierbarkeit erkennst du, indem ein Faktor seperat vom anderen dazu addiert wird.

Susi-MX3 · 27 März 2012

Ferah schrieb:
Meine Erklärung (die nicht richtig sein muss): kommt auf die Gleichung an. Nur wenn die Faktoren substituierbar sind, kannst du einen Faktor auf Null setzen, sonst ist ja auch das Endprodukt Null. Substituierbarkeit erkennst du, indem ein Faktor seperat vom anderen dazu addiert wird.

Dann könnte ich doch bei Klausur 03/2010 auch einfach einen auf Null setzen. nur dann komme ich nicht auf das richtige Ergebnis...

Oder ist die Funktion in 03/2010 nicht substituiebar?

Ferah · 27 März 2012

stimmt hast recht... Bin am Ende meines Lateins.... Muss jemand anderer jetzt ran.

Susi-MX3 · 27 März 2012

Schade, trotzdem vielen Dank und viel Erfolg morgen 🙂

Hat jemand anderes einen Tipp, woran man erkennt, ob Lagrange oder einfach einen Faktor auf 0 setzen angewandt werden muss? das wäre

Ferah · 27 März 2012

danke, wünsche dir morgen ebenfalls viel Glück!

patrick-fernuni · 27 März 2012

Wenn in der Funktion per Addition verknüpft wird, dann kannst du den teuersten Faktor 0 setzen. Wird per Multiplikation verknüpft, dann musst du prüfen ob die Exponenten sich zu 1 addieren. Wenn ja, dann kannst du eine Vorteilstabelle nutzen. Wenn nicht, dann arbeite ich immer mit dem Verhältnis vonm Grenznutzen und Faktorpreisen. Lagrange nutze ich gar nicht.

Susi-MX3 · 27 März 2012

vorteilstabelle? Sagt mir leider gar nicht :-( Hast Du einen Hinweis, wo ich dazu etwas finde?

Und allgemeine fasse ich nochmal zusammen:

Addition:
--> teuersten faktor auf 0 setzen

Multiplikation:
--> wenn Exponenten zusammen = 1 => Vorteilstabelle
--> wenn nicht => ((dx/dr1)/(dx/dr2))/q1/q2

Und wenn sie sich zu 1 addieren lassen, dann kann ich nicht dennoch mit "Verhältnis Grenznutzen = Verhältnis Faktorpreise" rechnen? Oder doch?

Passt das soweit?

rocksugar · 27 März 2012

Wenn sich die Exponenten zu 1 addieren lassen (bei einer Multiplikation, also Cobb-Couglas), gibt es doch diese "Milchmädchenrechnung":

1) a) Exp.r1*q2
b) Exp.r2*q1

2) Erg.a)*r1=Erg.b)*r2

3) nach r1 auflösen

4) in Produktionsfunktion einsetzen

5) nach r2 auflösen

6) in r1 einsetzen

Susi-MX3 · 27 März 2012

Ahhh... nie gehört...

Kannst du mir das mal anfolgendem Beispiel zeigen?

x = 4*r1^2/3 * r2^1/3
x = 48 ME
q1 = 4 GE
q2 = 16 GE

Ergebnis muss sein:

r1 = 8r2

Susi-MX3 · 27 März 2012

Bzw. ich habe mal versucht, diesen Weg bei meinem genannten beispiel anzuwenden:

1a) 2/3 * 16 = 32/3
1b) 1/3 * 4 = 4/3

2) 32/3 * r1 = 4/3 * r2

4) r1 = 3/32 * 4/3 r2 = 1/8 r2

5) in PF einsetzen:
48 = 4 * (1/8r2)^2/3 * r2^1/3
48 = 4 * 1/4 * r2^2/3 * r2^1/3
48 = = r2^2/3 * r2^1/3
48 = r2

6) r1 = 1/8 * 48 = 6

Das ist aber nicht die Lösung, die laut ML rauskommen muss... Wo liegt mein Fehler?

rocksugar · 27 März 2012

Au Backe, diese Rechnerei mit Brüchen und Hochzahlen macht mich kirre 😕

Also, r1=1/8r2 hab ich auch.

Allerdings rechne ich bei den Bruchzahlen als Exponenten anders, so dass bei mir r2=96 rauskommt.

rocksugar · 27 März 2012

Anmerkung: Die Milchmädchenrechnung ist übrigens die breits genannte Vorteilstabelle.

Susi-MX3 · 27 März 2012

rocksugar schrieb:
Allerdings rechne ich bei den Bruchzahlen als Exponenten anders, so dass bei mir r2=96 rauskommt.

Nur wie "anders" rechnest du denn? 🙂 Ich komme ja nicht drauf, wo liegt denn mein Fehler?

rocksugar · 27 März 2012

Ich bin mir auch nicht sicher, ob mein Rechenweg der Richtige ist....wie gesagt, mit Bruchzahlen im Exponenten hab ich es nicht so; ich hoffe, es kommt in der Klausur etwas "Schlichteres" dran 😉

4*1/8*r2^2/3*r2^1/3=48

--> r2^2/3*r2^1/3 kann man auch schreiben als r2^(2/3+1/3) --> r2

4*1/8*r2=48

1/2r2=48
r2=96

ChrissiLLB · 30 März 2012

Susi-MX3 schrieb:
Ahhh... nie gehört...

Kannst du mir das mal anfolgendem Beispiel zeigen?

x = 4*r1^2/3 * r2^1/3
x = 48 ME
q1 = 4 GE
q2 = 16 GE

Ergebnis muss sein:

r1 = 8r2

DANKE

(dx/dr1) / ( dx/dr2) = q1/q2

(4 * 2/3 * r1^-1/3 * r2^1/3) / (4 * 1/3 * r1^2/3 * r2^-2/3) = 4/16

[(2/3) / (1/3)] * r2/r1 = 1/4

2 * r2/r1 = 1/4

r1 = 2 * 4 * r2

r1 = 8 * r2

Liebe Grüße

ChrissiLLB · 30 März 2012

Zu dieser Produktionsfunktion kann die Kostenfunktion (minimale Kosten) so abgeleitet werden:

K = q1 * r1 + q2 * r2

K = 4 * r1 + 16 * r2

Bekannt ist:

x = 4 * r1^2/3 * r2^1/3

und die Expansionslinie r1 = 8 * r2 bzw. r2 = 1/8 * r1

r1 = 8 * r2
Damit kann r2 als Funktion von x dargestellt werden:
Ersetze in x = 4 * r1^2/3 * r2^1/3 das r1 durch r1 = 8 * r2 und löse nach r2 auf:
x = 4 * r1^2/3 * r2^1/3
x = 4 * (8 * r2)^2/3 * r2^1/3
x = 4 * 8^2/3 * r2
x = 16 * r2

Also: r2 = 1/16 * x

r2 = 1/8 * r1
Damit kann r1 als Funktion von x dargestellt werden:
Ersetze in x = 4 * r1^2/3 * r2^1/3 das r2 durch r2 = 1/8 * r1 und löse nach r1 auf
x = 4 * r1^2/3 * r2^1/3
x = 4 * r1^2/3 * (1/8 * r1)^1/3
x = 4 * 8^-1/3 * r1
x = 2 * r1

Also: r1 = 1/2 * x

Damit können die (minimalen) Kosten K = q1 * r1 + q2 * r2 als Funktion von x dargestellt werden:
Ersetze in K = 4 * r1 + 16 * r2 das r1 und r2 durch die berechneten x-Terme
K = 4 * r1 + 16 * r2
K = 4 * 1/2 * x + 16 * 1/16 * x
K = 3 * x

Die Kostenfunktion lautet also K(x) = 3 * x

Für x = 48 sind die minimalen Kosten also K(48) = 3 * 48 = 144

Liebe Grüße

Susi-MX3 · 31 März 2012

ChrissiLLB schrieb:
(dx/dr1) / ( dx/dr2) = q1/q2

(4 * 2/3 * r1^-1/3 * r2^1/3) / (4 * 1/3 * r1^2/3 * r2^-2/3) = 4/16

[(2/3) / (1/3)] * r2/r1 = 1/4

2 * r2/r1 = 1/4

r1 = 2 * 4 * r2

r1 = 8 * r2

Liebe Grüße
Chrissi

Danke Dir. Nur die Lösung hatte ich schon, ich hääte nur gern die Lösung mit dieser "Milchmädchenrechnung" gewusst 🙂 Ist ja jetzt eh egal, Klausur ist vorbei.

butschi · 20 September 2014

Einfach die beiden Brüche dividieren:
(2/3) / (1/3) = (2*3) / (3*1) = 6 / 3 = 2

=> Brüche werden dividiert indem man den Kehrwert multipliziert

Minimalkostenkombination

patrick-fernuni

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