Minimalkostenkombination

im hering-buch auf seite 4, Aufgabe 7 und in der WS-klausur 2007 nummer 2:

M(r(1),r(2)= wurzel (r(1) * r(2)), q1= 8, q2=2

1. berechnet werden soll GRS (2,1) und der expansionspfad soll erstellt werden.

2. mit welcher faktoreinsatzmenge r1 und r2 wird die menge M = 100 kostenminimal hergestellt? wie hoch sind die minimalen kosten?

ich habe ein totales brett vorm kopf und weiß gar nicht, wie ich hier anfangen soll?

Löse erstmal nach r2 auf - isoquantengleichung.
Die GRS ist erste Ableitung davon.

Beziehung dr2/dr1 = -q1/q2

Ergebnis davon expansionspfad

dorothea777 schrieb:

Beziehung dr2/dr1 = -q1/q2

Ergebnis davon expansionspfad

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Oder einfacher: Im Kostenminimum gilt (dM/dr1) / (dM/dr2) = q1/q2 (Merken!)

M = r1^1/2 * r2^1/2

q1 = 8, q2 = 2

dM/dr1 = 1/2 * r1^-1/2 * r2^1/2

dM/dr2 = 1/2 * r1^1/2 * r2^-1/2

(dM/dr1) / (dM/dr2) = q1/q2

(1/2 * r1^-1/2 * r2^1/2) / (1/2 * r1^1/2 * r2^-1/2) = 8/2

r2/r1 = 4

r2 = 4 * r1[/COLOR] (Expansionspfad)

Jetzt: M = 100 kostenminimal:

M
= 100
= r1^1/2 * r2[/COLOR]^1/2
= r1^1/2 * (4 * r1)^1/2
= 2 * r1

Also: r1 = 100/2 = 50 und r2[/COLOR] = 4 * r1 = 4 * 50 = 200

Damit: M = 100 wird kostenminimal mit r1 = 50 und r2 = 200 produziert.

Minimale Kosten Kmin = q1 * r1 + q2 * r2 = 8 * 50 + 2 * 200 = 800

Liebe Grüße

danke, für die erklärung. jetzt hab ich noch mehr fragezeichen im kopf 😱(

Der Expansionspfad kann auch über die GRS(2,1) berechnet werden:

M = r1^1/2 * r2^1/2

r2^1/2 = M * r1^-1/2

r2 = M^2 * r1^-1

GRS(2,1)
= dr2/dr2
= M[/COLOR]^2 * -1 * r1^-2
= (r1^1/2 * r2^1/2)^2 * -r1^-2 ...// M[/COLOR] = r1^1/2 * r2^1/2 einsetzen
= r1 * r2 * -r1^-2
= -r2/r1

Wegen dr2/dr1 = -q2/q1 im Kostenminimum gilt nun im Kostenminimum:

dr2/dr1 = -q2/q1

-r2/r1 = -8/2

-r2/r1 = -4

r2 = 4 * r1 (Expansionspfad)

Liebe Grüße