minimalkostenkombination

ich habe hier in einem buch eine beispielaufgabe deren Lösung ich nachzuvollziehen versuche.
es geht um die berechnung der minimalkostenkombination bei gegebener kostenfunktion:
K = q1 * r1 + q2 * r2
wobei das Kostenbudget K=72 ist, und die Preise für die Faktoren q1=4 und q2=6 betragen.

Nach r2 aufgelöst ergibt die Isokostengerade

r2= 12 - 2/3 r1

Die Produktionsfunktion lautet m = r1*r2


Nun muss ich nach meinem Wissensstand den Punkt finden, an dem die Steigung der Isokostengerade gleich der Steigung der Produktionsfunktion ist, also -2/3 (Steigung der Isokostengerade) = Steigung der Produktionsfunktion. die Steigung der Produktionsfunktion ist meines Erachtens r2´ = -m /(r1)²

In der Lösung der Aufgabe wurde jedoch die Kostenfunktion einfach nach r2 aufgelöst und 12-2/3 r1 in die gleichung m = r1 *r2 eingesetzt --> m = r1* (12-2/3r1). Daraufhin wurde nach r1 abgeleitet und der Extremwert von m´ bestimmt, indem m´=0 gesetzt wurde. Der sich für r1 ergebende Wert war die für r1 gewählte Faktormenge bei Minimalkostenkombination.
Ich verstehe den Lösungsweg leider überhaupt nicht, warum setze ich die Isokostengerade in die Produktionsf. ein und leite die dann nach r1 ab etc :/?

viele grüße

M = r1 * r2

K = 72 = 4 * r1 + 6 * r2

Hier ist das Kostenbudget gegeben, es ist also keine Minimalkostenkombination, sondern eine Maximalproduktionsmengekombination zu Kosten 72 gesucht.

Wegen 72 = 4 * r1 + 6 * r2

gilt r2 = 12 - 2/3 * r1

Durch die Kostenvorgabe von 72 gibt es den r2-r1-Zusammenhang r2 = 12 - 2/3 * r1, der eben erfüllt sein muss damit die Kosten 72 sind.

Nun ist

M
= r1 * r2
= r1 * (12 - 2/3 * r1) ...// Kostenrestriktion r2 = 12 - 2/3 * r1 einsetzen
= 12 * r1 - 2/3 * r1^2

M = 12 * r1 - 2/3 * r1^2 bedeutet, dass für ein beliebigen Einsatz von r1, die Produktionsmenge M = 12 * r1 - 2/3 * r1^2 zu Kosten von 72 produziert werden kann. Nun ist die Frage nach der maximalen Menge M, die zu Kosten von 72 produziert werden kann, also:

M'(r1) = 12 - 4/3 * r1 = 0 für r1 = 9

M''(r1) = -4/3 < 0, d.h. bei r1 = 9 hat M tatsächlich ein Maximum!

Nun gilt für r2: r2 = 12 - 2/3 * r1 = 12 - 2/3 * 9 = 6

Die gesuchte Maximalproduktionsmengekombination zu Kosten 72 ist also r1 = 9 und r2 = 6

Das bedeutet: Ist M = r1 * r2, die Güterpreise wie gegeben, so lässt sich für Kosten in Höhe von 72 mit r1 = 9 und r2 = 6 die maximale Produktionmenge M = 6 * 9 = 54 produzieren. Die gesuchte Maximalproduktionsmengenkombination ist also r1 = 9 und r2 = 6.

Dein Ansatz funktioniert ebenso und führt zum selben Ergebnis! Gesucht ist die r2-Isoquante, die mit der Isokostenlinie r2 = 12 - 2/3 * r1 einen Berührpunkt hat.

Im Berührpunkt, haben Isoquante und Isokostenlinie denselben Wert und dieselbe Steigung.

Isoquante:

r2 = M/r1

dr2/dr1 = -M/r1^2 = -(r1 * r2) / r1^2 = -r2/r1

Isokostenlinie:

r2 = 12 - 2/3 * r1

dr2/dr1 = -2/3

Es sind also zwei Gleichungen zu lösen:

(1) Gleicher Wert: r2 = 12 - 2/3 * r1 = M/r1 = r1 * r2 / r1 = r2, aloso r2 = 12 - 2/3 * r1

(2) Gleiche Steigung: dr2/dr1 = -2/3 = -r2/r1, also r1 = 3/2 * r2

r1 = 3/2 * r2 aus (2) in (1) eingesetzt:

r2 = 12 - 2/3 * r1 = 12 - 2/3 * 3/2 * r2 = 12 - r2

r2 = 6

r2 = 6 in (2) eingesetzt:

r1 = 3/2 * r2 = 3/2 * 6 = 9

Auch über diesen Weg erhalten wir also r1 = 9 und r2 = 6

Die zu Kosten von 72 maximal produzierbare Produktionsmenge ist M = 9 * 6 = 54

Liebe Grüße

erstmal supervielen dank für die lange antwort...
ich glaube ich habs verstanden, ich versuch nur nochmal meine gedankengänge zur überprüfung offenzulegen 🙂

Grundsätzlich suche ich ja die r1 r2 Kombination mit der ein größtmöglicher Wert von M möglich ist.
Insofern ziel ich darauf ab ein Extremum der Funktion M = r1 * r2 zu finden, was sich aber schwierig darstellt, da, wenn M gegeben ist, die Funktion von 2 Variablen abhängt.

Da aber nun das Kostenbudget von K = 72 = 4* r1 + 6* r2 gegeben ist, kann ich die Variable r2 durch Umformung von r1 abhängig machen.
r2 = 12 - 2/3 r1 bedeutet jha nichts anderes, als das bei einer variablen Einsatzmenge des Faktors r1 sich die Menge des Faktors r2 autmatisch verändert, wenn das Kostenbudget von 72 eingehalten werden soll.

Dann aber kann diese Kostenrestriktion in M = r1 * r2 eingesetzt werden, denn insofern ist nun klar, wie viel r2 ich maximal einsetzen kann wenn ich r1 > 19 einsetze.

Dann einfach das Extremum von M für die nur noch von einer Variablen abhängige Funktion suchen, etc.

Wäre nun K = 72 nicht gegeben, wäre keine Abhängigkeit von r2 zu r1 herstellbar, etc.

Hab mich noch nich ausführlich mit der Minimalkostenkomb. beschäftigt, aber wahrscheinlich wird M dann gegeben sein, und von den Variablen r2 und r1 abhäbngig sein, weswegen es partieller Differenziation bedarf, sind ja schließlich 2 Variablen.

Jetzt zum anderen Lösungsweg, Steigung der Isoquante = Steigung der Kostenlinie.
Steigung der Kostenlinie mit r2´= -2/3 ist schnell berechnet, demnach such ich nun den Punkt r1, an dem die Steigung der Isoquante, -r2/r1 = -2/3 ist. Der Punkt ist eben r1= 3/2 r2, in die ausgangsgleichung eingesetzt r1 = 9.

Ich kam halt überhaupt nicht darauf bei der Steigung der Isoquanten, -M/(r1)², M durch r1*r2 zu ersetzen.

Ich hoffe nu hab ichs richtig gecheckt 🙂
vielen dank nochmal und viele grüße
max

maxthew schrieb:

Hab mich noch nich ausführlich mit der Minimalkostenkomb. beschäftigt, aber wahrscheinlich wird M dann gegeben sein, und von den Variablen r2 und r1 abhäbngig sein, weswegen es partieller Differenziation bedarf, sind ja schließlich 2 Variablen.

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Ja, falls M gegeben ist (z.B. eine konkrete Produktionsmengre M = 105), gestaltet sich die Rechnung genau andersherum:

Wegen M = 105 gibt es einen r2-r1-Zusammenhang, der in die Kostenfunktion eingesetzt wird. Die Kostenfunktion ist dann eine Funktion in einer Variablen r1, für die das Minimum an der Stelle r1min gesucht wird, damit steht dann r1 = r1min und die Minimalkosten (nämlich die Kosten bei r1min) fest. Aus M ist dann mit r1min auch r2min berechenbar. Das Ergebnis ist eine Minimalkostenkombination r1min, r2min, mit der die Produktionsmenge M = 105 kostenminimal berechnet werden kann.

Beachte, dass die Aufgabenstellung, bei der die Kosten vorgeben sind, identisch mit der Fragestellung in der Haushaltstheorie ist, bei der das Einkommen Y des Haushalts gegeben ist und nach der nutzenmaximalen Gütermengenkombination des Haushalts bzgl. seiner Nutzenfunktion U gefragt ist. Die Budgetrestriktion zu Y ist die "Kostenfunktion K" und U ist die "Produktionsfunktion M", wobei in der Haushaltstheorie nicht der haushaltsoptimale Nutzwert ("Produktionsmenge") interessiert, der die Budgetrestriktion erfüllt, sondern nur die Gütermengenkombination dazu. Hier kommt eine wesentlicher Unterschied zwischen Nutzenfunktion und Produktionsfunktion zum tragen, nämlich dass die Nutzenfunktion nur ordinalen Charakter hat, während eine Produktionsfunktion kardinalen Charakter
hat.

Beachte auch, dass die Aufgabenstellung zur Minimalkostenkombination (bzw. zur Maximalproduktionsmengekombination) dahingehend erweiterbar ist, dass nicht eine konkrete Ausbringungmenge (bzw. eine konkrete Kostenvorgabe) gegeben ist, sondern diese jeweils als beliebig aber fest angesehen wird (Konstante Mconst bzw. Kconst). In der gesuchten r1-r2-Mengenkombination taucht diese Konstante Mconst bzw. Kconst dann auch auf.

Liebe Grüße