Minimalkostenkombination wann Lagrange wann GRS

Wenn es um die Minimalkostenkombination geht, dachte ich, dass man dafür immer den Lagrange braucht.
Bei den Onlineaufgaben wurde das ganze aber über die GRS berechnet.

Kann man immer beides machen oder kommt es auf die gegebenen Informationen an?

Hätte mich auch interessiert...
??

ist lagrange nicht eine Funktion mit Nebenbedingung also Budgetbeschränkung?
ich dachte es sei L: = Nutzenfunktion - lamda(budgetbeschränkung) dann kann ich mithilfe der Ableitungen nach x x2 und lamda die Faktormengen berechnen
Minimalkostenk ist doch meist in der Form M(x,x2) geschrieben, aus der du dann GRS und Expansionpfad berechnen kannst.

Oder bin ich nun aufm Holzweg

Beachte: GRS und Grenznutzen hängen zusammen:

Sei U eine Produktionsfunktion/Nutzenfunktion, x und y Faktoren/Güter sowie q und r die Preise von x und y.

Zum einen gilt auf der Isoquante/Indifferenzkurve: (dU/dx) * dx + (dU/dy) * dy = 0 ("Totales Differential = 0"), weil sich der Wert von U (Ausbringungsmenge/Nutzwert) bei einer "Wanderung" zwischen zwei Punkten derselben Isoquante/Indifferenzkurve nicht ändert. Die Änderung ist 0, d.h. x und y ändern sich entgegengesetzt "ausgleichend".

Somit gilt:

Umstellung von (dU/dx) * dx + (dU/dy) * dy = 0 nach dx/dy ergibt ...

dx/dy = - (dU/dy) / (dU/dx)

dx/dy ist die GRS von x durch y

(dU/dy) / (dU/dx) ist das Verhältnis der Grenznutzen

Es gilt also immer (nicht nur im Optimum): GRS von x durch y = - Grenznutzenverhältnis "y/x"

Ausserdem gilt mit Lagrange im Optimum (und nur dort): (dU/dx) / (dU/dy) = q/r also Grenznutzenverhältnis "x/y" = Preise "x/y"

Beide Zusammenhänge zusammen ergibt deshalb im Optimum: GRS von x durch y = - (dU/dy) / (dU/dx) = -r/q

Im Optimum gilt daher (1) und (2):

(1) GRS von x durch y = -r/q

(2) (dU/dx) / (dU/dy) = q/r

Mit (1) und (2) gibt es also zwei Möglichkeiten (die miteinander in einem Zusammenhang stehen), den Expansionspfad (d.h. die Beziehung der Mengen im Optimum in Abhängigkeit der Preise) zu berechnen: über die GRS und über das Grenznutzenverhältnis.

Liebe Grüße

danke noch mal für die Zusammenfassung.
Als ich mir am Klausurvorabend noch mal die Herleitung von GRS und Lagrange angeschaut habe, habe ich es dann auch verstanden!