Minimalkostenkombination - bin am verzweifeln

also, alle anderen Themen funktionieren prima, nur die MMK bringt mich ziemlich nahe an einen Nervenzusammenbruch..
Beispiel: Aufgabe 1 in der Klausur von März 2001
Produktionsfunktion gegeben: x = 4 r1² + 2r1r2 ; r1, r2 größer/gleich 0

a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination der Faktoren 1 und 2, mit der Produktionsmenge x = 384 sowie die dabei entstehenden Minimalkosten, wenn die folgenden Faktorpreise gelten:
a1) q1 = 35 GE/FE , q2 = 7 GE/FE
a2) q1 = 40 GE/FE , q2 = 12 GE/FE
Beachten Sie, dass bei der Lösung in Teilaufgabe a2) die Input-Mengen stets nicht-negativ sein müssen!

Was ist mein Ansatz?? Rechne ich:
35 r1 + 7 r2 + lambda (384 - 4r1² + 2r1r2)
oder
4r1² + 2r1r2 + lambda (35r1 + 7r2 - 384)
oder liege ich komplett daneben?

Ich danke euch schon mal für Eure Hilfe!!

Wo kommt denn dein lambda her?
Ich würde versuchen
[tex]\frac{\frac{dx}{dr_{1}}}{\frac{dx}{dr_{2}}}=\frac{q_{1}}{q_{2}}[/tex]
anzuwenden.
Ich habe die aber noch nicht gerechnet.

Ich komme dann für a1 auf r1=r2=8 und das scheint laut Musterlösung zu stimmen

Na, das lambda kommt vom Lagrange-Ansatz. Aber ich krieg das irgendwie nicht auf die Reihe und die Dozentin bei unserer Klausurvorbereitung konnte sich leider lediglich an der Musterlösung entlanghangeln ohne tatsächlich was zu erklären.. 🙁
Löst du die MMK immer auf diese Weise?

Bei limitationalen Produktionsfunktionen klappt das nicht, aber wenn da schon so schön Faktorpreise angegeben sind ist das die erste Wahl.

Du kannst das auch mit lagrange lösen, HanNan.

Überlege Dir, was minimiert werden soll:. die Kosten, also ist die Kostenfunktion die Hauptfunktion, von der etwas möglichst kleines abgezogen werden soll, daher:

35 r1 + 7 r2 - lambda (384 - 4r1² - 2r1r2)

Dein anderer Ansatz würde die Produktionsmenge minimieren bzw. maximieren, was hier aber nicht gesucht ist.

Ob jetzt plus oder minus die Nebenbedingung, da bin ich noch nicht dahinter gestiegen, meine aber mich zu erinnern, dass es egal ist, da der Ausdruck hinter Lambda=0 ist und ob Du null hinzurechnest, oder abziehst, ist egal.

Wenn etwas zu minimieren ist, setze ich immer das minus.

allerdings ist Lagrange wesentlich komplizierter zu rechnen, aber zur Sicherheit hier die Zwischenschritte ( hatte mich mehrmals dazwischen verrechnet, bis ich auf das richtige Ergebnis kam ):

1) L nach r1 = 35 + 8*lambda*r1 + lambda * 2*r2 = 0
2) L nach r2 = 7 + lambda*2*r1 = 0
3) L nach lambda = 384 - 4*r1²-2r1*r2 = 0

Theoretisch löst man nun 1) und 2) jeweils nach lambda auf und setzt sie dann gleich, hier lös ich nur 2) nach Lambda auf und setze in 1 ein, da einfacher:

2) 7= - lambda*2*r1 lamdda = -3,5 / r1

in 1) einsetzen: 35 + 8*( -3,5 / r1 ) * r1 + ( -3,5 / r1 ) * 2*r2 = 0
35 - 28 + 7*r2/r1 = 0
7 - 7 r2/r1 = 0
r2 = r1

dieses Ergebnis setzt man nun in 3) ein:

384 - 4*r1²-2*r1*r1=0
384 - 6 *r1² = 0
384 = 6*r1²
r1 = 8 = r2

Man sollte zwar wissen, wie Lagrange funktioniert, aber in der Klausur werde ich den aus Zeitgründen und meinen Verrechenkünsten wenn machbar umgehen.

Super, danke! Ja, ich verrechne mich auch immer 😉 Aber wenn ich zumindest mal den Ansatz ab, muss ich jetzt eben üben, üben, üben..

So, nach einigem Überlegen habe ich den Lagrange Ansatz dank Nataschas toller Erklärung endlich verstanden 🙂
Mich würde nun auch der andere (hoffentlich etwas weniger rechenfehleranfällige 😀 ) Weg interessieren, ich bleibe dort aber schon am Ansatz hängen, weil ich hier ja zwei Unbekannte in einer Gleichung habe – oder?
Schon mal Danke im Voraus für die Hilfe!

[tex]x=4r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}[/tex]

[tex]\frac{\frac{dx}{dr_{1}}}{\frac{dx}{dr_{2}}}=\frac{8r_{1}+2r_{2}}{2r_{1}}=\frac{q_{1}}{q_{2}}[/tex]
[tex]r_{2}=(\frac{q_{1}}{q_{2}}-4)r_{1}[/tex]
spätestens hier würde ich normalerweise die Zahlen einsetzen
Man kann den Ausdruck aber auch in die Ausgangsgleichung einsetzen (dann wird es aber wieder fehleranfällig finde ich)
[tex]x=4r_{1}^{2}+2(\frac{q_{1}}{q_{2}}-4)r_{1}^{2}[/tex]
ein bischen umformen
[tex]x=(2\frac{q_{1}}{q_{2}}-4)r_{1}^{2}[/tex]
und r1 direkt ablesen (x, q1 und q2 sind ja vorgegeben)
[tex]r_{1}=\sqrt{\frac{x}{2\frac{q_{1}}{q_{2}}-4}}[/tex]

) Hab ich jetzt auch verstanden!
Werd mich gleich mal hochmotiviert an ein paar Aufgaben versuchen