von Studenten für Studenten
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Guten Start ins Wintersemester 2024/2025
Mengentheoretische Durchschnitt
- Ersteller Seb85
- Erstellt am
Genau wie Katzelu schon erklärt hat. Für visuelle Lerner - ich habs mir so gemerkt:
Variablen - Gleichungen = Dimension
----------------------------------
n - m = Dimension
3 - 1 = 2 -> Ebene (2D Hyperraum)
3 - 2 = 1 -> Gerade (1D Hyperraum)
3 - 3 = o -> Punkt (Degenerierter Hyperraum)
Variablen - Gleichungen = Dimension
----------------------------------
n - m = Dimension
3 - 1 = 2 -> Ebene (2D Hyperraum)
3 - 2 = 1 -> Gerade (1D Hyperraum)
3 - 3 = o -> Punkt (Degenerierter Hyperraum)
Es gibt keine "Hyperräume" mit negativer Dimension. dimension 0 ist ein Punkt, kleiner gehts nicht. Und die Dimension ist immer abhängig von der Zahl linear unabhängiger Vektoren. Drei Geraden (2 variable, 3 Gleichungen) schneiden sich entweder in einem Punkt oder gar nicht , es können sich ja zwei schneiden und die dritte läuft nicht durch den Punkt.
Etta
Etta
Korrekt!!!
Etta
Etta
2 Fragen noch dazu:
A) Rechnet Ihr bezüglich der Lösbarkeit des Gleichungssystems immer die Determinante aus oder gibt es einen anderen (zeitsparenderen) Weg?
B) Wie stellt man die lineare Unabhängigkeit am schnellsten fest, muss man sie immer berechnen oder kann man es irgenwie von den Gleichungen ablesen?
LG
A) Rechnet Ihr bezüglich der Lösbarkeit des Gleichungssystems immer die Determinante aus oder gibt es einen anderen (zeitsparenderen) Weg?
B) Wie stellt man die lineare Unabhängigkeit am schnellsten fest, muss man sie immer berechnen oder kann man es irgenwie von den Gleichungen ablesen?
LG
Ich mach mal ein kleine Zusammenfassung bezüglich dem m. Durchschnitt, wie ich es verstanden habe.
Also, wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist (z.B. Det=0) dann ist der m.D. leer.
Wenn sie lösbar ist (Det ungleich 0), dann ist sie eindeutig lösbar, wenn der m.D. ein Punkt ist.
Wenn der m.D. eine Gerade ist, dann ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar.
[Was ist wenn der m.D. eine Ebene ist? Ist sie dann auch mehrdeutig lösbar?]
Also, wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist (z.B. Det=0) dann ist der m.D. leer.
Wenn sie lösbar ist (Det ungleich 0), dann ist sie eindeutig lösbar, wenn der m.D. ein Punkt ist.
Wenn der m.D. eine Gerade ist, dann ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar.
[Was ist wenn der m.D. eine Ebene ist? Ist sie dann auch mehrdeutig lösbar?]
Die Rechteckregel wird im Skript als Kreisregel bezeichnet.
Ob der Mengentheoretische Durchschnitt ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene (oder leer) ist lese ich immer an der Anzahl der Variablen - der Anzahl der Gleichungen ab......
Jeder Punkt ist eine Lösung. Eine Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten, also unendlich vielen Lösungen. Eine Ebene besteht auch aus unendlich vielen Punkten ...
Jein 😉
Du mußt auch noch die Anzahl der Basisvariablen berücksichtigen. Schau noch mal in Post zwei.
Die leere Menge ist, wie der Name schon sagt, leer und enthält keinen Vektor. Und schon gar nicht den Nullvektor, und der ist zwingend erforderlich für einen Unterraum. Bitte nicht Nullvektor und leere Menge verwechseln!!
Etta
Etta
Also die Aufgaben, die ich bisher so gerechnet habe, waren alle "Nicht lösbar", weil entweder zwei Variablen 2 unterschiedliche Werte hatten, oder in einer Zeile dann 0 = x (x>0) raus kam.
Wäre es also klug, erstmal zu schauen, ob die Gleichungen überhaupt lösbar sind und dann erst den Rang ausrechnen?
An sich passiert das ja fast gleichzeitig. Aber bevor ich den Gaus auspacke, rechne ich lieber nach der Methode "das vielfache der 1.Zeile minus 2.Zeile" usw..
Wäre es also klug, erstmal zu schauen, ob die Gleichungen überhaupt lösbar sind und dann erst den Rang ausrechnen?
An sich passiert das ja fast gleichzeitig. Aber bevor ich den Gaus auspacke, rechne ich lieber nach der Methode "das vielfache der 1.Zeile minus 2.Zeile" usw..
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