Mehrere Fragen zu Kapitel 2

arbeite gerade das Kursheft 1 durch und habe mehrere Fragen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Definition 2.3.2 (Skalarprodukt) | KE 1 - Seite 22
Was hat es mit dem cos in der Formel auf sich?
Dachte das das Skalarprodukt das Ergebnis von Vektoren ist die miteinander multipliziert werden und die Ergebnisse anschliessend addiert werden.

Achsenabschnitts-Form | KE 1 - Seite 25Für mein Verständnis. Bei der Achsenabschnitts-Form darf im Ergebnis nur eine 1 herauskommen. Entsprechend werden dort Werte eingesetzt um auf 1 zu kommen. Die Werte sind die Schnittpunkte mit der Koordinatenachse.

Beispiel 2.3.8 | KE 1 - Seite 27
Ganz unten kann ich mir folgende Aussage nicht erklären:

"a^Ts / ||a|| ist bis aufs Vorzeichen der Abstand des Uprungs von der Geraden.

Definition Hessesche Normalform
Sie wird hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet und beschreibt eine Ebene. Ihr Normalvektor ist ein Einheitsvektor und immer eine Einheit lang.

Bin aber mit der Definition noch nicht glücklich und bräuchte ein paar einleuchtende Beispiele.

Freue mich über Feedback!

Workflo,

Skalarprodukt:

x= llall * llbll * cos(a,b)

cos(a,b)= aTb / llall * llbll

Setzt du das in die obere Gleichung ein, fallen die beiden llall * llbll weg und übrig bleibt aTb, sprich die Addition der Komponentenprodukte.
Ich hoffe, das ist so richtig...

Viele Grüße, Tanja

Workflo,

so wie ich das verstanden habe sieht es so aus:

Skalarprodukt:
Laut Definition ergibt sich das Skalarprodukt aus den Komponentenprodukten zweier Vektoren a und b.
Man rechnet quasi den Winkel aus, von daher ist ist die cos- Funktion logisch, spielt aber nicht wirklich eine Rolle, weil es auf das selbe hinaus kommt wenn man die beiden Vektoren einfach miteinander multipliziert. Eine wirkliche Erklärung für cos in der allg. Formel habe ich aber leider auch nicht. 😱 Wird vielleicht erst in späteren Kapiteln relevant.
Achsenabschnittsform:
Habe ich ganz genau so verstanden.
Hesse'sche Normalenform:
Dient der Bestimmung eines Punktes von einer Ebene.
Die HN ist eine Normalenform, bei der der Normalvektor den Betrag (Streckenlänge) 1 besitzt. Aus jeder Normalenform läßt sich durch Teilen durch den Betrag des Normalvektors eine HN gewinnen.
Das heißt im Klartext: einfach die Ausgangsgleichung durch den vorher erechneten Betrag teilen, dann hast du die HN in die du dann die Werte eines beliebigen Punktes eingeben kannst und somit das Ergebnis erhältst.

Bsp.: (Sorry, ich habe keine Ahnung wie man hier "Wurzel von" schreiben kann...)

Gegeben sei die Gleichung 3x-2y+5z=0
n=(3,(-2), 5) (der Normalenvektor)
p=(2,1,(-1,2)) (der Punkt)

|n|= (Wurzel von)3²+(-2)²+5²
= (Wurzel von)38 (Das ist der Betrag)

HN:
(3*2)-(2*1)+(5*(-1,2))+2 =0
(Wurzel von)38

Ich hoffe du kannst damit was anfangen.

Danke für deine ausführliche Antwort. Du schreibts allerdings das die HN zur Bestimmung eines Punktes von einer Ebene dient. Ich dachte das damit gemeint ist das man die Entfernung von einem Punkt zu einer Geraden berechnet.

Wenn wir schon bei dem Thema sind, kannst du mir die Hyperebene genauer erklären? Bis jetzt weiß ich nur das sie eine Dimension weniger hat als der Raum in dem sie sich befindet. Das ist mir jedoch nicht wirklich griffig genug.

Workflo,

ja, das stimmt auch. Du kannst die HN einsetzen um die Entfernung eines Punktes zu einer Geraden oder auch zu einer Ebene zu berechnen, wie z. B. zu einer Hyperebene (da wird der Abstand zum Ursprung berechnet), wobei wir auch schon beim Thema wären.
Eine Hyperebene ist einfach ein "Unterraum" in einem endlichdimensionalen Vektorraum. Du ziehst einfach die Anzahl der Gleichungen von der Dimension des Raumes ab, und erhältst den Hyperraum.
Bsp.:
bei zwei Gleichungen im R^3
3-2=1
also eine Gerade, weil das ein Hyperraum der Dimension 1 ist.
Ein Hyperraum der Dimension 0 wäre ein Punkt und ein Hyperraum der Dimension 2 wäre dann eine Ebene.
Ob das allerdings schon alles ist, weiß ich auch noch nicht so genau, bei dem Kapitel wachsen mir graue Haare...
Halt mich doch auf dem Laufenden, wenn du mehr heraus bekommen solltest...