Matrizen: Definitheit bestimmen

P

pelica

• 10 September 2010

• #1

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leider verstehe ich nicht, wie die Definitheit einer Matrix bestimmt wird. Habe schon etliche Beiträge gelesen aber ich verstehe es nicht.😕 Kann mir jemand anhand von zwei Matrizen erklären, wie das Ganze funktioniert?

1. Beispiel:

Bei einer alten Klausur soll bei der Matrix

-2 0
A= 0 -2 angegeben werden, was von a)- f) zutrifft:

a) negativ definit
b)regulär
c) positiv definit
d) invertierbar
e) indefinit
f) keine der Alternativen ist richtig

2. Beispiel:

A= 3 0
0 -3


Kann mir jemand anhand dieser beiden Beispiele das Vorgehen erklären?
Viele Grüße
pelica

 

E

embi

• 10 September 2010

• #2

Beispiel 1:
Du guckst dir erstmal das "erste Viertel" (oder wie man das nennt) an, also die -2
-2< 0 somit negativ
Dann guckst du dir die Hauptdiagonale-Nebendiagonale (Determinante) an: -2*(-2)-0 = 4 > 0 somit positiv

Daraus kannst du jetzt folgendes ablesen:
Wenn die 1. Ziffer > 0 und die Determinante >0, dann positiv definit
Wenn die 1. Ziffer < 0 und die Determinante > 0, dann negativ definit
Wenn die 1. Ziffer >0 und Determinante <0 oder 1. Ziffer <0 und Determinante <0, dann indefinit

Demnach ist das 1. Bsp. negativ definit

2. Beispiel:
3 > 0 positiv
3*(-3)-0= -9 < 0

Indefinit

Ich hoffe, ich habe deine Matrizen richtig gelesen, da hier ein Sprung ist 🙂

 

P

pelica

• 10 September 2010

• #3

Embi, vielen herzlichen Dank!!!

 

W

Walfängerin

• 11 September 2010

• #4

das ganze stimmt in der angeführten Version nur für 2x2-Matrizen. Wichtig ist grade bei negativ definit das abwechselne negativ-positiv-sein der Unterdeterminanten. Bei einer 3x3-Matrix hieße das : Element links oben < 0, dann Determinante aus den linken 4 oberen Elementen > 0 und dann Determinante der Matirx wieder < 0. Das läuft auch unter dem Namen Hurwitz-Kriterium. Man kann dann ja hoffen dass keine 3x3-Matrix drankommt. Zweitens müssen die MAtrizen symmetrisch sein, damit entweder die Sache mit den Determinanten oder die Berechnung über die Eigenwerte funktioniert. Ansonsten gehen weder-noch. Etta, Mentorin am ehemaligen Studienzentrum Hildesheim

 

E

embi

• 11 September 2010

• #5

Stimmt, das hatte ich noch vergessen zu sagen

 

B

basler

• 20 September 2010

• #6

walfängerin,

danke für den beitrag. der war super! ich hätte aber noch ein frage betreffend konvex und strikt konvex. ist eine matrix, wenn sie strikt konvex ist auch automatisch konvex oder umgekehrt? ich steh gerade voll auf dem schlauch :-(

lg, basler

 

IrinaR

• 20 September 2010

• #7

Hessematrix => positiv definit - Funktion => strikt konvex
Hessematrix => positiv semidefinit - Funktion => konvex
Hessematrix => negativ definit - Funktion => strikt konkav
Hessematrix => negativ semidefinit - Funktion => konkav

Wenn Hessematrix positiv definit (negativ definit) ist, dann ist sie automatisch positiv semidefinit (negativ semidefinit).
Wenn eine Funktion strikt konvex (strikt konkav) ist, dann ist sie auch einfach konvex (konkav) aber nicht umgekehrt.

 

E

evasol

• 20 September 2010

• #8

Kleine Beiläufige Frage wann wäre denn die Hessematrix semidefinit?

 

IrinaR

• 20 September 2010

• #9

Positiv semidefinit, d.h. wenn das Matrixelement a11 und die Determinante der Hesse-Matrix größer oder gleich Null sind.
Negativ semidefinit, d.h. wenn das Matrixelement a11 und die Determinante der Hesse-Matrix kleiner oder gleich Null sind.

 

E

evasol

• 20 September 2010

• #10

Danke schön!

Noch ne Frage, würden denn diese feststellungen nur bei einer Hessematrix zutreffen oder auch bei einer normalen Matrix? (Da doch die Hessematrix die zweiten ableitungen sind)?

 

IrinaR

• 20 September 2010

• #11

Es gilt auch für normale Matrix.

Manchmal gibt es Aufgaben, wo mehrere Matrizen vorgegeben sind und man soll nur die finden, die negativ definit sind.
Da muss man aufpassen das die Matrizen symetrisch und natürlich quadratisch sind.
Eine Matrix kann man so symetrisch machen: 1/2(A+A^T) z.B.:
-1 2 + -1 4 = 1/2(-2 6) = -1 3
4 3 +....2 3 = 1/2( 6 6) =...3 3

Und jetzt die Definitheit prüfen

 

E

evasol

• 20 September 2010

• #12

Ach so dann wäre sie hier indefinit, denn a11 < 0 und det < 0. Das heißt wenn ich matrizen auf ihre Definitheit überprüfen will geht das nur wenn sie symetrisch sind? Das war mir ja gar nicht klar.
Tausend Dank

 

IrinaR

• 20 September 2010

• #13

evasol schrieb:

Ach so dann wäre sie hier indefinit, denn a11 < 0 und det < 0. Das heißt wenn ich matrizen auf ihre Definitheit überprüfen will geht das nur wenn sie symetrisch sind?

Zum Vergrößern anklicken....

Ja genau die Matrix ist indefinit. Und die Definition von Definitheit fängt so an:
Es sei A eine symmetrische Matrix. Dann gilt ... (00053) KE 2 Seite 67