Mathematik für WiWi 1 Basis orthonormalisieren

Mathematik für WiWi 1: Basis orthonormalisieren

Hallo,

ich komme bei der Übungsaufgabe 3.5.2 nicht weiter. Bitte um Hilfe.

Aufgabe: Orthonormalisieren Sie folgende Basis:

a1= (1,1,1); a2=(1,1,0); a3=(1,0,0)

Ich verstehe nicht, wie man dort auf das angegebene Ergebnis kommt.

Vorab

Hagen80! :winke:
Den Lösungsweg zu dieser Aufgabe findest du ganz ausführlich erklärt auf
https://www.fernuni-hagen.de/ZFE/videostreaming/or/200602/aufzeichnung.shtml

Hoffe das hilft dir! Hatt bei dieser Aufgabe auch meine Probleme.

Viele Grüsse,
Chantal

danke für den Tipp.

Nur behandelt dieser Stream: "Vertiefung ausgewählter Inhalte zu Kapitel 2 bis 4 (Der 2-dimensionale und n-dimensionale Vektorraum sowie Matrizen)" nicht die Übungsaufgabe 3.5.2. Irgendwie springt der Videomensch vom Aufgabenblock 2.X zu 4.x.

Bitte um Hilfe.

Orthonormalisieren heißt überprüfen, ob der Vektor die Länge 1 besitzt. Die Länge eines Vektors ist durch die Addition der quadrierten Komponenten in der Wurzel definiert. Bei a1 wäre das die Wurzel aus (1² + 1² + 1 ²) = Wurzel 3, also wäre a1 keine orthonormalisierte Basis.
Hoffe, dass das Deine Frage erklärt.

vielen Dank für die Hilfe.

Dennoch verstehe ich nicht, wie man auf die Lösung kommmt.

Also den Rechenweg habe ich doch erklärt... Dann stell bitte nochmal die Frage, was genau unklar ist!

Mir ist da auch etwas nicht ganz klar

Also gegeben ist:
a1 = (1,1,1)
a2 = (1,1,0)
a3 = (1,0,0)
alle Drei Vektoren angaben Tranponiert natürlich.

Schritt 1:

der 1. Orthonormale Vektor u1 wird berechnet indem man den Vektor a1 normiert (also durch seine eigene Länge teilt)

u1 = a1/wurzel(1²+1²+1²) = a1/"Wurzel3"
u1 = 1/wurzel(3)*(1,1,1)
oder
u1 = (1/"wurzel3", 1/"wurzel3", 1/"wurzel3")

Soweit ist noch alles klar!

Schritt 2:

Um den Orthonormalen Vektor u2 zu errechnen muss man erst einen orthogonalen Vektor zu u1, in unserem Fall v2 berechen:

v2= a2 -(u1T*a2)u1

v2= (1,1,0) - [ (1/"wurzel3", 1/"wurzel3", 1/"wurzel3")T*(1,1,0)] * (1/"wurzel3", 1/"wurzel3", 1/"wurzel3")

d.h. v2= (1/3,1/3,-2/3)

soweit so gut, nun ist v2 noch nicht normiert also wollen wir dies nun tun:

Schritt 3:

u2 = v2 / "wurzel((1/3)²+(1/3)²+(-2/3)²)"
zwischenrechung für die läge von v2
"wurzel(1/9+1/9+4/9)" ergibt bei mir "wurzel(6/9)" oder gekürzt "wurzel(2/3)"
IST DAS RICHTIG???

Dieser Zwischenschritt fehlt leider in der Lösung, und hier komme ich nicht mehr mit! FRAGE: Könnt Ihr mir sagen ob das bisher so richtig war, oder ob hier im Satz des Pythagoras einen Rechenfehler habe???

Vielen Dank, wenn das hier geklärt ist, mache ich weiter mit der Lösung.

Nicht ganz!

Du hast da stehen: 1/ (Wurzel 6/9) x Vektor V2.

Dann teilweise radizieren. Also die Wurzel aus 9 ziehen (=3)

Dann steht da 1/Wurzel 6 / 3 x v2 oder auch 3/Wurzel6 x v2

vgl. das dann mit der Lösung. Ich hoffe, du kannst es nachvollziehen.

Also, ich habe die Aufgabe nicht und kenne die Lösung daher nicht.

Der Vektor a3 ist doch schon orthonormal, daher würde ich mit dem anfangen. Es gibt nur zwei Vektoren der Länge 1, die zu a3 orthogonal sind, nämlich (0,1,0) und (0,0,1). Praktischerweise gilt

a2 - a3 = (0,1,0) und
a1 - a2 = a1 - (0,1,0) - a3 = (1,0,0).

Also ist eine Orthogonalbasis (0,0,1); (0,1,0); (1,0,0).

Das ist nicht die einzige Lösung, aber bestimmt die einfachste.

@steco, ja vielen Dank...
werde die Aufgabe dann mal fertig rechnen.

@Klara, ist auch ein interissanter Ansatz, Danke. Mit einem guten Auge für das Wichtige kann man sich viel Zeit sparen. Wenn ich ehrlich bin habe ich mir den Vektor a3 (1,0,0) garnicht angesehen🙂 In der Klausur hätte ich 20 Min. gebraucht wobei man für Deine Lösung nur 1 Minute braucht. Allerdings kann es natürlich sein das die Orthonormalvektoren anhand der schmidtschen Orthonormalisierung gesucht werden!

killinspree schrieb:

@Klara, ist auch ein interissanter Ansatz, Danke. Mit einem guten Auge für das Wichtige kann man sich viel Zeit sparen.

Zum Vergrößern anklicken....

Jahrelange Erfahrung 😀

killinspree schrieb:

Allerdings kann es natürlich sein das die Orthonormalvektoren anhand der schmidtschen Orthonormalisierung gesucht werden!

Zum Vergrößern anklicken....

Wenn da steht, dass mit den ersten Vektor angefangen werden soll, musst Du in den saueren Apfel beissen. Wenn es egal ist, ist a3 tatsächlich die bessere Option. Ist die Klausur nicht Multiple Choice? Dann sieht ja keiner, wie Du auf die Lösung gekommen bist.

Haltet ihr es für realistisch, dass eine Aufgabe zur Orthonormalisierung in der Klausur drankommt? Sprich lernt ihr die Formel oder nicht?

In Frankfurt haben sie gesagt, dass es noch nie dran kam ...
Sprich man kann es machen oder auch lassen. Ich lasse es!

Viele Grüße

Habe auch eine Frage zum Thema. Allerdings eher bzgl. der Basics der Orthonormalisierung. Die Formel zur Ortho.... fuer den 2. Vektor lautet v2 = a2 - alpha1 · u1. Ferner heisst es, das man einen zu u1 orthogonalen Vektor erhaelt wenn man alpha1 so waehlt das u1T · v2 = 0. Alles ganz klar da zwei zueinander orthogonale Vektoren = 0 sind soweit ich verstanden habe.
Weiter heisst es, das daraus schlussfolgert das 0= u1T · a2 - alpha1 · u1Tu1 bzw. alpha1 = u1T · a2. Wo kommt da jetzt u1 her und was bedeutet das? u1T · u1 ist doch =1 oder? Irgendwie kann ich den Zwischenschritt nicht ganz nachvollziehen der zu dieser Gleichung fuehrt... v2 ist zu u1 orthogonal, aber noch nicht normiert, folglich kein orthonormierter Basisvektor soweit ich verstanden habe. Das leuchtet schon ein. Nur das mit "u1" bleibt mir ein Raetsel. Wie kommt man auf die Gleichung 0= u1T · a2 - alpha1 · u1Tu1 ? Waer toll wenn das jemand erklaeren koennte 🙂.

Viele Gruesse,

Stefan

Basis orthonormalisieren wird in der Klausur nicht vorkommen, wurde mir am Samstag bei der ersten Mentorvorstellung gesagt, da das berechnen fast eine halbe Stunde dauert und es so nicht in Frage kommt, ich vertraue dem Mentor mal