Linearkombination

Catherine · 12 Oktober 2005

Kann mir kurz einer völlig umgangssprachlich erklären, was eine Linearkombination ist?
Ich muss das irgendwie in meine eigenen Worte umformulieren, damit es greifbarer ist, von der Theorie ist es mir klar.
Kann man sagen, dass es alles ist, wenn man behauptet: Linearkombination ist ein Vektor, wenn er ein Vielfaches eines anderen Vektors bildet und keine Linearkombinatin ist der Vektor, wenn er das eben nicht tut? Oder kann man damit noch mehr anstellen?:confused

schmetterling · 12 Oktober 2005

Ach verdammt... total verdacht.
sorry für das blödsinnige posting jetzt

Catherine · 12 Oktober 2005

Hm jetzt hab ich irgendwie ein Teil leider nicht mitbekommen

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
Kann man sagen, dass es alles ist, wenn man behauptet: Linearkombination ist ein Vektor, wenn er ein Vielfaches eines anderen Vektors bildet und keine Linearkombinatin ist der Vektor, wenn er das eben nicht tut? Oder kann man damit noch mehr anstellen?😕

Etwas mehr noch: Ein Vektor ist eine Linearkombination von möglicherweise auch mehreren Vektoren genau dann, wenn er sich als die Summe von beliebigen "Vielfachen" dieser Vektoren darstellen lässt. Der Trick bei der Linearkombination besteht dann darin, genau die Werte dieser Vielfachen zu den jeweiligen Vektoren zu ermitteln.

Im R³ lässt sich jeder(!) Vektor als Linearkombination von drei beliebigen linear unabhängigen Vektoren darstellen. Im R² klappt das schon mit zwei solcher Vektoren.

mfg
Mickey

Catherine · 12 Oktober 2005

Hm, ich verstehe nur das mit der Summe noch nicht ganz.

Wenn ich z.B. ein Vektor (1,2) habe (muss jetzt nur mal als Zeilenvektor schreiben, weil ich das mit der Spalte nich hinbekomme) dann wäre doch der Vektor (2,4) EINE Linearkombination zu dem ersten Vektor, oder? Und der Vektor (3,6) wäre ebenfalls EINE Linearkombination.
Ist es richtig, dass man dann den Vektor als Linearkombination bezeichnet oder ist das nicht identisch?

Catherine · 12 Oktober 2005

Oder bedeutet das mit der Summe, dass wenn ich z.B. den Vektor (3,6) habe, man 3 mal den Vektor (1,2) addieren müsste (also hier kommt die Summe ins Spiel), damit ich wieder den ursprünglichen Vektor (3,6) habe?

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
hm, ich verstehe nur das mit der Summe noch nicht ganz.

Wenn ich z.B. ein Vektor (1,2) habe (muss jetzt nur mal als Zeilenvektor schreiben, weil ich das mit der Spalte nich hinbekomme) dann wäre doch der Vektor (2,4) EINE Linearkombination zu dem ersten Vektor, oder? Und der Vektor (3,6) wäre ebenfalls EINE Linearkombination.
Ist es richtig, dass man dann den Vektor als Linearkombination bezeichnet oder ist das nicht identisch?

Irgendwie erscheint es mir zwar komisch, einen Vektor als Linearkombination eines anderen Vektors zu betrachten, aber formal isses Ok.

Jedenfalls: (3,6) = 3* (1,2) also ist (3,6) eine Linearkombination von (1,2). Für (2,4) kann man entsprechende Regelung aufstellen.

Anderes Beispiel, schon etwas aufwändiger, aber auf dem Papier nachvollziehbar. Es ist (4,4) eine Linearkombination von (1,0) und (2,4), und du darfst herausfinden, warum dem so ist😉

mfg
Mickey

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
oder bedeutet das mit der Summe, dass wenn ich z.B. den Vektor (3,6) habe, man 3 mal den Vektor (1,2) addieren müsste (also hier kommt die Summe ins Spiel), damit ich wieder den ursprünglichen Vektor (3,6) habe?

Äh, die Summe kommt erst ins Spiel, wenn es mehr als ein Element zum Summieren gibt.

Catherine · 12 Oktober 2005

mickey schrieb:
Äh, die Summe kommt erst ins Spiel, wenn es mehr als ein Element zum Summieren gibt.

Mit der Summe meinte ich, dass 3 ich mal die kleinen Vektoren summieren muss, bis ich den "großen" Vektor habe

Catherine · 12 Oktober 2005

Also (1,2) + (1,2) + (1,2) = (3,6)

Catherine · 12 Oktober 2005

mickey schrieb:
Anderes Beispiel, schon etwas aufwändiger, aber auf dem Papier nachvollziehbar. Es ist (4,4) eine Linearkombination von (1,0) und (2,4), und du darfst herausfinden, warum dem so ist😉

das ist jetzt ne gute Frage, warum das so ist!
Bezeichnet man (4,4) als je eine Linearkombination zu (1,0) und eine Linearkombination zu (2,4) oder ist der erste Vektor eine Linearkombination zu der Summe von den beiden letzteren Vektoren?

Irgendwie ist das wahrscheinlich total Korinthenk. erei von mir, aber ich verstehe das mit der Summe noch nicht so ganz.

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
Mit der Summe meinte ich, dass 3 ich mal die kleinen Vektoren summieren muss, bis ich den "großen" Vektor habe

Also, sich an dieser Stelle eine Summe vorzustellen solltest du dir gleich wieder aus dem Kopf schlagen😉 Ist zwar formal richtig, aber spätestens dann, wenn du ein 1/2 mal einen anderen Vektor hast, bist du mit dieser Terminologie am Ende der Vorstellungskraft angelangt. Ich mein, bei natürlichen Zahlen ermittelst du das Prokukt 11 * 17 auch nicht, indem du 17+17+... rechnest, oder? 😀

mfg
Mickey

Catherine · 12 Oktober 2005

Nö, ich versuche nur, mir zu überlegen, woher das mit der Summe kommt

Catherine · 12 Oktober 2005

Bei obengenanntem Beispiel geht es darum, dass ich die Vielfache von (1,0) und (2,4) finde, dass insgesamt bei einer Summe der beiden Vielfache der Vektor (4,4) herauskommt, oder?

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
das ist jetzt ne gute Frage, warum das so ist!
Bezeichnet man (4,4) als je eine Linearkombination zu (1,0) und eine Linearkombination zu (2,4) oder ist der erste Vektor eine Linearkombination zu der Summe von den beiden letzteren Vektoren?

Es ist genau letzteres. Ersteres wäre sogar ziemlich genau falsch. Hmm... ich müsste da jetzt nen Roman zu schreiben, um da so Begriffe wie Kollinearität (oder auch gleich Komplanarität) reinzuschmeißen, und am besten noch ein paar Zeichnungen zu anfertigen. Bis dahin finde heraus, was lineare Unabhängigkeit sein soll und wie man diese überprüft🙄

Catherine schrieb:
Irgendwie ist das wahrscheinlich total Korinthenk. erei von mir, aber ich verstehe das mit der Summe noch nicht so ganz

Nee, ist schon ok. Gerade die Grundlagen sollte man wirklich 100%ig draufhaben. Und das hier ist quasi das kleine Einmaleins der linearen Algebra.

mfg
Mickey, jetzt auch mal wieder arbeiten müssend

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
bei obengenanntem Beispiel geht es darum, dass ich die Vielfache von (1,0) und (2,4) finde, dass insgesamt bei einer Summe der beiden Vielfache der Vektor (4,4) herauskommt, oder?

Exakt das ist es!

Catherine · 12 Oktober 2005

Darf ich die beiden Vektoren mit verschiedenen Zahlen multiplizieren oder muss es bei beiden der selbe Faktor sein?

Catherine · 12 Oktober 2005

Sonst würde ich sagen (4,4) = 2 (1,0) + 1 (2,4)

mickey · 12 Oktober 2005

Catherine schrieb:
sonst würde ich sagen (4,4) = 2 (1,0) + 1 (2,4)

Yep! Wie du gemerkt hast, kann es nicht der gleiche Faktor sein.

Formal ist es immer irgendwie mit
v = a1*v1 +a2*v2 + ... + an*vn
wobei die a1 bis an relle Zahlen und v1 bis vn Vektoren sind. Und wenn du das austüftelst, bekommst du wieder so ein Gleichungssystem wie in Kap. 1 raus, was es zu lösen gilt.

Catherine · 12 Oktober 2005

Ah super, vielen Dank! Jetzt ist schon mal ein Thema geklärt, das tut sehr gut!
Kannst du mir noch sagen, ob es da irgendwie eine goldene Regel gibt, wie man da am besten beim probieren der Vielfachen vorgeht oder sind die Beispiel oft so "klar", dass man es leicht erkennt? Eine Formel gibt es ja leider nicht, oder?

mickey · 12 Oktober 2005

Doch, die gibt es. Zumindest ein Verfahren. Nennt sich lineares Gleichungssystem😉 Wird in ganzer Tiefe in KE 2 abgehandelt werden, es wird aber davon ausgegangen, dass du zumindest Systeme mit 2-3 Unbekannten auch so schon (wenngleich eher durch systematisches Rumfummeln) gelöst kriegst.

Catherine · 12 Oktober 2005

Oh stimmt, ganz grau erinnere ich mich noch an meine Schulzeit, jetzt wo du es erwähnst

schmetterling · 13 Oktober 2005

Danke für die Erklärung, mickey 🙂, ich glaube, so langsam hab ich's auch begriffen.

Catherine · 17 Oktober 2005

Und gleich noch eine Frage: im Skript auf Seite 34 geht es um Linearkombinationen von 3 Vektoren. Als Beispiel ist angegeben, dass (0, 0, 0) eine LK von (0,1,2), (1,1,0) und (-1, 0, 2) ist. Als Faktoren werden 1, - 1, und -1 verwendet.
Hier könnte ich doch genauso die Faktoren -1, 1, 1 verwenden, oder? Hauptsache ich komme wieder auf den Vektor (0,0,0), aber die Richtung ist egal.

Und noch eine Frage: Bei diesen Vektoren ist angegeben, dass man aus der Grafik erkennen kann, dass sie in einer Ebene liegen. Könnte man das auch nur aus den Vektoren sehen, so wie sie dort stehen?

mickey · 17 Oktober 2005

Catherine schrieb:
und gleich noch eine Frage: im Skript auf Seite 34 geht es um Linearkombinationen von 3 Vektoren. Als Beispiel ist angegeben, dass (0, 0, 0) eine LK von (0,1,2), (1,1,0) und (-1, 0, 2) ist. Als Faktoren werden 1, - 1, und -1 verwendet.
Hier könnte ich doch genauso die Faktoren -1, 1, 1 verwenden, oder? Hauptsache ich komme wieder auf den Vektor (0,0,0), aber die Richtung ist egal.

Na, gerade hier in diesem Fall ists zufällig mal egal, weil als Summe der Nullvektor rauskommt (d.h. die angegebenen Vektoren mit den entsprechenden Faktoren bilden hintereinandergeschaltet ein hübsches Dreieck, und wenn du die Faktoren mit -1 multiplizierst, kommt auch sowas raus, aber eben ein anderes Dreieck - versuche mal, dir das irgendwie aufzumalen).

Spätestens dann, wenn eine Linearkombination mal nicht den Nullvektor ergibt, wird das Vertauschen der Vorzeichen der Faktoren zu ganz anderen Ergebnissen führen.

Catherine schrieb:
Und noch eine Frage: Bei diesen Vektoren ist angegeben, dass man aus der Grafik erkennen kann, dass sie in einer Ebene liegen. Könnte man das auch nur aus den Vektoren sehen, so wie sie dort stehen?

Also, ich sehe das, aber auch eher weil ich darin etwas Übung habe. In dem Fall ists einfach so, dass in jedem Vektor eine Null als Komponente drinsteht, und jeweils in einer anderen Zeile. Dh die Matrix aus diesen Vektoren, in der "richtigen Reihenfolge" nebeneinander geschrieben, beinhaltet nur Nullen in der Hauptdiagonalen. Daher ist die Frage nach der linearen Abhängigkeit (und mithin der Aussage im R³, dass sie in einer Ebene liegen) hier leicht zu treffen.

mfg
Mickey

Catherine · 17 Oktober 2005

kannst du mir noch verraten, was lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit grafisch bedeutet? Also kann man das bei Vektoren in einem Koordinatensystem sofort sehen, wenn sie l.u. oder l.a. sind?

Catherine · 17 Oktober 2005

Bzw. ich versuche es mal kurz, weil ich mich etwas undeutlich ausgedrückt habe:

Könnte man sagen, dass man bei einer (N)LK von Vektoren diese erkennt, weil man die Vektoren so zusammen setzen kann, dass man mit diesen wieder den Nullpunkt erreicht, bzw. dann eben den VEktor bilden kann, der die LK aus den anderen Vektoren darstellt.

Gibt es so ein Merkspruch auch bei Linearer Abhängigkeit?

mickey · 17 Oktober 2005

Catherine schrieb:
hi, kannst du mir noch verraten, was lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit grafisch bedeutet? Also kann man das bei Vektoren in einem Koordinatensystem sofort sehen, wenn sie l.u. oder l.a. sind?

Mit meiner Hilfsdefinition aus dem Mathe-LK "n Vektoren sind unabhängig genau dann, wenn sie einen (Unter-)VR der Dimension n aufspannen" wirst du vermutlich nicht so viel anfangen können.😉

Am Beispiel des R³ kann ich mal versuchen, es bildlich darzustellen.

Also, wir haben drei Vektoren, die sind linear abhängig, wenn sie irgendwie auf einer Ebene zum Liegen kommen. D.h. der dritte Vektor ist (das hatten wir schonmal) als Linearkombination der beiden anderen darzustellen. Wenn sie nicht auf ebensolcher Ebene liegen, so sind sie linear unabhängig (benutze die rechte-Hand-Regel, um die genaue Lage der Vektoren mit einer geeigneten Verrenkung der rechten Hand nachzuvollziehen).

Wenn wir im R³ nur zwei Vektoren betrachten, so müssen sie um linear abhängid zu sein, schon auf einer Geraden liegen (d.h. der eine ist ein Vielfaches des anderen).

Betrachten wir umgekehrt gleich vier Vektoren, so müssen diese immer linear abhängig sein (rechte Hand), mal angenommen drei der vier sind linear unabhängig, dann kannst du dir leicht an einer Hand abzählen (oder wir lernen später: ausrechnen - Stichwort wann ist ein LGS lösbar?), dass der vierte sich als Linearkombination der anderen drei darstellen lässt.

und nochmal zur Betonung: In jedem Vektorraum gilt, dass wenn von einer bel. Menge an Vektoren auch nur eine Teilmenge von wenigstens zwei Vektoren findet, welche linear abhängig sind, so bezeichnet man auch die gesamte Menge als linear abhängig, selbst wenn alle anderen Vektoren (ohne einen "Quertreiber") unabhängig sind.

Catherine · 17 Oktober 2005

Was bedeutet denn "spannen eine Ebene auf"? Kann man das so verstehen, dass, wenn man einen Schnitt durch das Koordinatensystem macht, die Vektoren, die die Ebene aufspannen, genau diese "Schnitt-Ebene", also eine zweidimensionale Fläche aufspannen?

Catherine · 17 Oktober 2005

Danke übrigens für deine ganzen äußerst ausführlichen Antworten!

mickey · 17 Oktober 2005

Catherine schrieb:
was bedeutet denn "spannen eine Ebene auf"? Kann man das so verstehen, dass, wenn man einen Schnitt durch das Koordinatensystem macht, die Vektoren, die die Ebene aufspannen, genau diese "Schnitt-Ebene", also eine zweidimensionale Fläche aufspannen?

Also, wenn ich Deine Vorstellung so richtig verstehe, würd ich sagen, genau das isses.

Mal sehen: Wo machst du den "Schnitt" durch das Koordinatensystem, und was machen die Vektoren da drin genau?

Achja: wenn du weisst, wie im R³ eine Ebene aus zwei Vektoren und einem Punkt dargestellt wird, dann hast du es.

Catherine · 17 Oktober 2005

Und noch eine Frage zu dem Austauschsatz von Steinitz:

kann man kurz sagen, dass die Aussage einfach die ist, dass man immer max. so viel l.u. Vektoren hat, wie die Hochzahl von R angibt? Also wenn man R^4 hat, kann man max. 4 Vektoren l.u. linear kombinieren?
Bei R^3 sind es max. 3 Vektoren usw.?
Diese maximale Anzahl der Vektoren nennt man Dimension, die wiederum durch das n bei R^n angezeigt wird, oder?

Catherine · 17 Oktober 2005

Ah man müsste hier zeichnen können

Catherine · 17 Oktober 2005

Also, mal angenommen, man hat 3 Koordinatenachsen x,y,z. Wenn man jetzt den Einheitsvektor bei x und den Einheitsvektor von y nimmt, dann spannen die quasi den "Boden" auf, wenn man den Minusbereich mal weglässt. Allg. ausgedrückt wäre es ein Schnitt, der die Horizontale aufspannt, oder? Und das ist dann die Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
Äh, nur wie ist das dann mit 3 Vektoren gemeint, z.b. mit den oben genannten, die genau auf jeder Koordinatenachse verlaufen, die spannen ja dann keine 2dimensionale Ebene auf, oder?

mickey · 17 Oktober 2005

Catherine schrieb:
und noch eine Frage zu dem Austauschsatz von Steinitz:

kann man kurz sagen, dass die Aussage einfach die ist, dass man immer max. so viel l.u. Vektoren hat, wie die Hochzahl von R angibt? Also wenn man R^4 hat, kann man max. 4 Vektoren l.u. linear kombinieren?
Bei R^3 sind es max. 3 Vektoren usw.?
Diese maximale Anzahl der Vektoren nennt man Dimension, die wiederum durch das n bei R^n angezeigt wird, oder?

Yep, soweit korrekt. Natürlich vorausgesetzt, dass diese Vektoren (oder Teilmengen daraus) selbst auch linear unabhängig sind.

fliegmax · 18 Oktober 2005

Nun ja, zur Linearkombination ist vielleicht noch so viel zu sagen:
Wenn du lauter Verktoren hast (die nennen wir jetzt mal x1.....xn) und lauter Vorfaktoren (genannt c1.....cn), dann sind die Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn die Bedingung
c1 * x1 + c2 * x2 + ... + cn * xn = 0 (gemeint ist die entsprechende "Null" Verktorraum, also im R³ (0,0,0) nur erfüllt werden kann wenn c1 = c2 = ... = cn = 0 sind. Wenn ich die Bedingung erfüllen kann mit c die von 0 verschieden sind, dann sind die Verktoren linear abhängig.

Einfaches Beispiel:
Gegeben seien die Vektoren (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2). Also kann ich folgende Gleichungen aufstellen:
für x-Komponente: c1 * 2 + c2 * 0 + c3 * 0 = 0
für y-Komponente: c1 * 0 + c2 * 2 + c3 * 0 = 0
für z-Komponente: c1 * 0 + c2 * 0 + c3 * 2 = 0
Wenn du jetzt dieses Gleichungssystem löst (da gibt es mehrere Verfahren zu), wirst du feststellen, dass die c alle = 0 sein müssen damit das klappt. Demzufolge sind die obigen Vektoren linear unabhängig (das war auch schon vorher klar, ist ja eine schöne Basis für den R³, stehen auch alle senkrecht aufeinander --> Skalarprodukt = 0) So kann man rechnerisch für jede x-beliebige Kombination von Vektoren prüfen, ob sie linear unabhängig sind.
Wenn man allerdings dir 4 Vektoren gibt im R³, dann kannst du gleich ohne zu rechnen sagen, dass einer davon eine Linearkombination der anderen ist.

Das war jetzt zugegeben eine sehr mathematische Ausführung in die Welt der linearen Unabhängigkeit, aber wenn man obiges Prinzip einmal verstanden hat und anwenden kann, ist das ganze ein Selbstläufer, weil es strikt nach Schema abläuft.

Viele Grüße

Max

mad · 15 Oktober 2010

Hello to @ll,
der Trick bei der Linearkombination besteht ja darin, genau die Werte der Vielfachen zu den jeweiligen Vektoren zu ermitteln, wenn man beispeilsweise die l. u. bzw. l. a. prüfen möchte. Aber wie bekommt man denn ALLE möglichen Skalare berechnet, beispielsweise mit einem LGS?
[tex]
\binom 0 0 = {1 \choose 2} + {2 \choose 4}
0 = \alpha_1 + 2\alpha_2
0 = 2\alpha_1 + 4\alpha_2
--------------------------
[/tex]

Multipliziere ich die erste Gleichung mit -2, verschwinden ja beide Unbekannten.

???

Linearkombination

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