LGS und Unterraum

ich versteh es nicht 😡. Kann mir mal jemand erklären, warum in einem Unterraum immer die 0 enthalten sein muss. Was muss ich hier machen? Danke

EA Lineare Algebra WS 2007/2008, Aufgabe 4

Weil ein Unterraum selbst ein Vektorraum sein muss. Er darf also u.a. nicht leer sein und muss unter Skalarmultiplikation abgeschlossen sein. Enthält er also irgendein Element v, dann muss er deswegen auch das Element 0v = 0 enthalten.

Nochmal für die Dummen

Ich habe 2 Gleichungen:

4*X(1) + 5*X(2) + 8*X(3) = 5
-1*x(1) + 1*X(2) + 2*X(3) = 1

Frage:
Obige zwei Gleichungen beschreiben einen Unterraum des R3?


Ich löse das Gleichungssytem und erhalte als Schnittgerade beider Ebenen die Gleichung:
9*X(2) + 16*X(3) = 9

Ich verstehe die Antwort nun nicht:
Der Hyperraum (Gerade) enthält nicht den Nullpunkt und ist somit kein Unterraum
Muss sich da für die X(1) und X(2) jeweils Null einsetzen :confused

Ja genau. Die Lösungsmenge besteht aus allen Punkten [tex](x_1, x_2, x_3)[/tex], für die die Gleichung erfüllt ist. Setzt du den Nullpunkt [tex](0,0,0)[/tex] in die Gleichung ein, erhältst du die falsche Aussage 0=9, er ist also nicht in der Lösungsmenge enthalten. Es folgt, dass es sich dabei nicht um einen Untervektorraum handeln kann.

Vielen Dank ! Sehr geholfen

Nur zu meiner Sicherheit ob ich das so alles richtig verstanden hab:

homogenes Gleichungssystem ax+bx = 0
mengentheoretischer Durchschnitt jeweils der Unterräume n-1
und einen Unterraum der Dimension n-m

Beispiel:
3x+2y-1z=0
1x-1y+2z=0
mengentheoretischer Durchschnitt Unterraum der Dimension 3-2= 1 => also eine Gerade
nur eine Gleichung davon betrachtet wäre eine Unterraum der Dimension 3-1 = 2


inhomomogenes Gleichungssystem ax+bx=y
mengentheroetischer Durchschnitt von m Hyperebenen
und einem Hyperraum der Dimension n-m

Beispiel :
3x+2y-1z=5
1x-1y+2z=7
5x-2y-1z=1
mengentheoretischer Durchschnitt Hyperraum der Dimension 3-3=0
also ein Punkt
jeweils eine Gleichung betrachtet wäre das eine Hyperebene der Dimension 3-1= 2

hab ich das so richtig verstanden?

vielen Dank für eure Hilfe schonmal im voraus 😀

Annett