Kurvendiskussion: Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbereich

Alles ohne Gewähr.

Eine Funktion ist lokal stetig an einer Stelle x, wenn an dieser Stelle der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionwert ist also:
[tex]\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)[/tex]
Wenn f jetzt stetig ist, dann verläuft der zugehörige Graph zu der Funktion durch diesen Punkt, was dann ja auch bedeutet das dort kein Sprung ist.

Desweiteren gibt es hebbare Lücken. Wenn die Funktion nun an einer Stelle einen Grenzwert besitzt:
[tex]\lim_{x\to x_0}f(x)=c[/tex]
Ein Beispiel ist hier die Funktion
[tex]f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}[/tex]

Und ein Funktion f ist nun stetig, wenn sie in jedem Punkt lokal stetig ist.

Es gilt jede Funktion, die aus stetigen Grundfunktionen aufgebaut ist, ist ebenfalls stetig, wie zum Beispiel jede ganzrationale Funktion in R und jede gebrochenrationale Funktion in Dmax.
f(x)=x+3 D=R ist stetig, da sowohl h(x)=x und g(x)=3 stetig sind.
f(x)=3x D=R ist stetig, da sowohl h(x)=x als auch g(x)=3 stetig sind.
f(x)=3/x in D=R\{0} ist stetig da sowohl h(x)=x als auch g(x)=3 stetig sind.


Zum zweiten
Funktionen haben stellen die nicht definiert sind wie zum Beispiel [tex]\sqrt{x}[/tex] (R->R)
Von so einer Funktion kannst du ja den Definitionsbereich bestimmen.
Der Diffenerzierbarkeitsbereich ist ein Teilbereich des Definitonsbereichs (Klar, Punkte die schon im Definitionsbereich nicht enthalten sind können auch nicht differenziert werden, schau dir mal die reele Funktion Wurzel aus x an und Versuch die Steigung an der Stelle x=-1 zu berechnen)
Der Differenzierbarkeitsbereich sagt etwas über die Ableitung aus siehe Definiton 1.1.6.
Mir fällt leider gerad' keine Funktion ein wo der Differenzierbarkeitsbereich nicht mir dem Definitionsbereich überein stimmt. Vllt ist es aber auch nur zu spät.

Mareike88 schrieb:

Mir fällt leider gerad' keine Funktion ein wo der Differenzierbarkeitsbereich nicht mir dem Definitionsbereich überein stimmt.

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Du hattest gerade schon eine genannt. Die Wurzelfunktion ist an der Stelle 0 definiert (und stetig), aber nicht differenzierbar.

Hui, danke ihr Beiden! Dass muss ich mir jetzt nochmal genau anschauen. Puh, kaum zu glauben, dass ich das eigentlich alles mal gelernt haben müsste 😉
Ich wünsche euch einen traumhaften Tag 😱)